방향도함수와 기울기벡터 연습문제 — CLP-3 · 2.7절 · 24번

CLP-3 · 2.7절 · 24번대학 수준우리말 번역

공간의 어떤 영역의 온도가 $T(x,y,z)=3x^2+\tfrac{1}{2} y^2+2z^2$ 도로 주어졌다고 하자.

(a) 참새 한 마리가 곡선 $\mathbf{r}(s)=\big(\frac{1}{3}s^3,2s,s^2\big)$ 을 따라 일정한 속력 $3{\rm ms}^{-1}$ 로 날고 있다. $s=1$ 일 때 참새의 속도를 구하세요. (b) $s=1$ 인 점 $A\big(\frac{1}{3},2,1\big)$ 에서 참새가 느끼는 온도의 변화율을 구하세요. (c) 점 $A\big(\frac{1}{3},2,1\big)$ 에서 온도가 최대 변화율로 감소하는 방향을 구하세요. (d) 독수리 한 마리가 점 $A\big(\frac{1}{3},2,1\big)$ 에서 참새의 경로와 교차하며, 참새의 경로와 수직인 방향으로 움직이고, 동시에 온도가 일정하게 유지되는 방향으로 움직이고 있다. 독수리가 점 $A$ 를 지나갈 때 날아갈 수 있는 방향을 모두 구하세요.

영어 원문 보기

Let the temperature in a region of space be given by $T(x,y,z)=3x^2+\tfrac{1}{2} y^2+2z^2$ degrees.

(a) A sparrow is flying along the curve $\mathbf{r}(s)=\big(\frac{1}{3}s^3,2s,s^2\big)$ at a constant speed of $3{\rm ms}^{-1}$ . What is the velocity of the sparrow when $s=1$ ? (b) At what rate does the sparrow feel the temperature is changing at the point $A\big(\frac{1}{3},2,1\big)$ for which $s=1$ . (c) At the point $A\big(\frac{1}{3},2,1\big)$ in what direction will the temperature be decreasing at maximum rate? (d) An eagle crosses the path of the sparrow at $A\big(\frac{1}{3},2,1\big)$ , is moving at right angles to the path of the sparrow, and is also moving in a direction in which the temperature remains constant. In what directions could the eagle be flying as it passes through the point $A$ ?

정답·풀이 보기

(a) $s=1$ 에서 운동 방향은 접선벡터

$\mathbf{r}'(s)=\left< s^2,2,2s\right>\big|_{s=1}=\left< 1,2,2\right>$

로 주어진다. 속도벡터의 크기가 $3$ 이어야 하므로

$\text{속도}=\mathbf{v}=3\frac{\left< 1,2,2\right>}{|\left< 1,2,2\right>|}=\left< 1,2,2\right>$

이다.

(b) $s=1$ 에서 참새가 느끼는 단위 거리당 온도 변화율은 ${ \boldsymbol{\nabla} } T\big(\frac{1}{3},2,1\big)\cdot\frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}$ 이다. 따라서 $s=1$ 에서 참새가 느끼는 단위 시간당 온도 변화율은

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } T\left(\frac{1}{3},2,1\right)\cdot\frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}\ |\mathbf{v}| &={ \boldsymbol{\nabla} } T\left(\frac{1}{3},2,1\right)\cdot\mathbf{v} =\mathbf{v}\cdot\left< 6x,y,4z\right>\Big|_{({1\over3},2,1\big)} \\ &=\left< 1,2,2\right>\cdot\left< 2,2,4\right>=14^\circ/{\rm s} \end{aligned}$

이다.

(d) 독수리는 참새의 운동 방향인 $\left< 1,2,2\right>$ 와 수직인 방향으로 움직인다. 또한 독수리는 온도가 일정하게 유지되는 방향으로 움직이므로, 온도의 기울기벡터 $\left< 2,2,4\right>$ 와도 수직인 방향으로 움직여야 한다. 따라서 독수리의 방향은 (양의 상수배의) 다음 중 하나이다.

$\begin{aligned} \pm\left< 1,2,2\right> \times\left< 2,2,4\right> =\pm\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 4 \end{matrix}\right] =\pm\left< 4,0,-2\right> \end{aligned}$

이는 임의의 양의 상수배의 $\pm\left< 2,0,-1\right>$ 와 같다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The direction of motion at $s=1$ is given by the tangent vector

$\mathbf{r}'(s)=\left< s^2,2,2s\right>\big|_{s=1}=\left< 1,2,2\right>$

Since the length of the velocity vector must be $3$ ,

$\text{velocity}=\mathbf{v}=3\frac{\left< 1,2,2\right>}{|\left< 1,2,2\right>|}=\left< 1,2,2\right>$

(b) The rate of change of temperature per unit distance felt by the sparrow at $s=1$ is ${ \boldsymbol{\nabla} } T\big(\frac{1}{3},2,1\big)\cdot\frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}$ . The rate of change of temperature per unit time felt by the sparrow at $s=1$ is

(c) The temperature decreases at maximum rate in the direction opposite the temperature gradient, which is (any positive constant times) $-\left< 2,2,4\right>$ .

(d) The eagle is moving at right angles to the direction of motion of the sparrow, which is $\left< 1,2,2\right>$ . As the eagle is also moving in a direction for which the temperature remains constant, it must be moving perpendicularly to the temperature gradient, $\left< 2,2,4\right>$ . So the direction of the eagle must be (a posiitve constant times) one of

or equivalently, any positive constant times $\pm\left< 2,0,-1\right>$ .

한 번 더 — 비슷한 문제APEX · 12.6절 · 3번우리말 번역

참/거짓: $z=f(x,y)$ 가 $P$ 에서 미분가능하다고 하자. $\vec n$ 이 $P$ 에서 $f$ 의 접평면에 대한 법선벡터이면, $\vec n$ 은 $P$ 에서 $\ell_x$ 와 $\ell_y$ 에 수직이다.

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