방향도함수와 기울기벡터 연습문제 — CLP-3 · 2.7절 · 30번

CLP-3 · 2.7절 · 30번대학 수준우리말 번역

함수 $T(x,y,z)$ 가 $P = (2,1,1)$ 에서 $T(P) = 5$ , $T_x (P) = 1$ , $T_y(P) = 2$ , $T_z(P) = 3$ 임이 알려져 있다.

(a) 꿀벌이 $P$ 에서 출발하여 점 $Q = (3,2,2)$ 를 향하는 단위벡터를 따라 날아간다. 이 방향으로의 $T(x,y,z)$ 의 변화율을 구하세요. (b) 점 $P$ 에서 $T$ 의 선형 근사를 이용하여 $T(1.9,1,1.2)$ 를 어림하세요. (c) $S(x,y,z) = x + z$ 라 하자. 꿀벌이 $P$ 에서 출발할 때, 이 방향으로의 $T(x,y,z)$ 의 변화율과 $S(x,y,z)$ 의 변화율이 모두 0이 되려면 어느 단위벡터 방향으로 날아가야 하는지 구하세요.

영어 원문 보기

A function $T(x,y,z)$ at $P = (2,1,1)$ is known to have $T(P) = 5$ , $T_x (P) = 1$ , $T_y(P) = 2$ , and $T_z(P) = 3$ .

(a) A bee starts flying at $P$ and flies along the unit vector pointing towards the point $Q = (3,2,2)$ . What is the rate of change of $T(x,y,z)$ in this direction? (b) Use the linear approximation of $T$ at the point $P$ to approximate $T(1.9,1,1.2)$ . (c) Let $S(x,y,z) = x + z$ . A bee starts flying at $P$ ; along which unit vector direction should the bee fly so that the rate of change of $T(x,y,z)$ and of $S(x,y,z)$ are both zero in this direction?

정답·풀이 보기

(a) $P=(2,1,1)$ 에서 $Q=(3,2,2)$ 로 향하는 단위벡터 방향으로의 $T$ 의 방향도함수를 구하는 문제이다. 이 단위벡터는 $\frac{\left< 1,1,1\right>}{\sqrt{3}}$ 이다. 따라서 방향도함수는

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } T(P)\cdot \frac{\left< 1,1,1\right>}{\sqrt{3}} =\left< 1,2,3\right> \cdot \frac{\left< 1,1,1\right>}{\sqrt{3}} =2\sqrt{3} \end{aligned}$

이다.

(b) $P$ 에서 $T$ 의 선형 근사는

$\begin{aligned} T(2+\Delta x\,,\,1+\Delta y\,,\,1+\Delta z) &\approx T(P) + T_x(P)\,\Delta x + T_y(P)\,\Delta y + T_z(P)\,\Delta z \\ &= 5 +\Delta x +2\,\Delta y +3\,\Delta z \end{aligned}$

이다. 여기에 $\Delta x = -0.1$ , $\Delta y = 0$ , $\Delta z=0.2$ 를 대입하면

$\begin{aligned} T(1.9\,,\,1\,,\,1.2) &\approx 5 +(-0.1) +2\,(0) +3\,(0.2) =5.5 \end{aligned}$

이다.

(c) $T$ 의 변화율이 0이 되려면 운동 방향이 ${ \boldsymbol{\nabla} } T(P) = \left< 1,2,3\right>$ 에 수직이어야 한다. $S$ 의 변화율도 0이 되려면 운동 방향이 ${ \boldsymbol{\nabla} } S(P) = \left< 1,0,1\right>$ 에도 수직이어야 한다. 벡터

$\begin{aligned} \left< 1,2,3\right> \times \left< 1,0,1\right> &=\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}}\\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1\end{matrix}\right] =\left< 2,2,-2\right> \end{aligned}$

는 ${ \boldsymbol{\nabla} } T(P)$ 와 ${ \boldsymbol{\nabla} } S(P)$ 에 모두 수직이다. 따라서 구하는 단위벡터는 $\pm\frac{\left< 1,1,-1\right>}{\sqrt{3}}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) We are being asked for the directional derivative of $T$ in the direction of the unit vector from $P=(2,1,1)$ to $Q=(3,2,2)$ , which is $\frac{\left< 1,1,1\right>}{\sqrt{3}}$ . That directional derivative is

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } T(P)\cdot \frac{\left< 1,1,1\right>}{\sqrt{3}} =\left< 1,2,3\right> \cdot \frac{\left< 1,1,1\right>}{\sqrt{3}} =2\sqrt{3} \end{aligned}$

(b) The linear approximation to $T$ at $P$ is

$\begin{aligned} T(2+\Delta x\,,\,1+\Delta y\,,\,1+\Delta z) &\approx T(P) + T_x(P)\,\Delta x + T_y(P)\,\Delta y + T_z(P)\,\Delta z \\ &= 5 +\Delta x +2\,\Delta y +3\,\Delta z \end{aligned}$

Applying this with $\Delta x = -0.1$ , $\Delta y = 0$ , $\Delta z=0.2$ gives

$\begin{aligned} T(1.9\,,\,1\,,\,1.2) &\approx 5 +(-0.1) +2\,(0) +3\,(0.2) =5.5 \end{aligned}$

(c) For the rate of change of $T$ to be zero, the direction of motion must be perpendicular to ${ \boldsymbol{\nabla} } T(P) = \left< 1,2,3\right>$ . For the rate of change of $S$ to also be zero, the direction of motion must also be perpendicular to ${ \boldsymbol{\nabla} } S(P) = \left< 1,0,1\right>$ . The vector

is perpendicular to both ${ \boldsymbol{\nabla} } T(P)$ and ${ \boldsymbol{\nabla} } S(P)$ . So the desired unit vectors are $\pm\frac{\left< 1,1,-1\right>}{\sqrt{3}}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.7절 · 31번우리말 번역

함수 $F(x,y,z) = z^3 +xy^2 +xz$ 와 $G(x,y,z)=3x-y+4z$ 를 생각하세요. 당신은 점 $P(0,1,2)$ 에 서 있습니다.

(a) $P$ 에서 $Q(0.1\,,\,0.9\,,\,1.8)$ 로 뛰어갑니다. 선형 근사를 이용하여 $F$ 가 변하는 양을 대략 구하세요. (b) $P$ 에서 $G$ 가 가장 빠르게 증가하는 방향으로 뛰어갑니다. $F$ 는 증가하는지 감소하는지 판단하세요. (c) $P$ 에서 $F$ 와 $G$ 의 변화율이 모두 0 인 방향 $\left< a\,,\,b\,,\,c\right>$ 로 뛰어갑니다. 이러한 방향의 예를 하나 구하세요(단위벡터일 필요는 없습니다).

다 풀었으면 정답 확인

$(0,1,2)$ 에서 $F$ 와 $G$ 의 기울기벡터가 모두 필요하다. 따라서 다음을 계산한다.

$\begin{aligned} \frac{\partial F}{\partial x}(x,y,z)&=y^2+z & \frac{\partial F}{\partial y}(x,y,z)&=2xy & \frac{\partial F}{\partial z}(x,y,z)&=3z^2+x \\ \frac{\partial G}{\partial x}(x,y,z)&=3 & \frac{\partial G}{\partial y}(x,y,z)&=-1 & \frac{\partial G}{\partial z}(x,y,z)&=4 \end{aligned}$

그러면

${ \boldsymbol{\nabla} } F(0,1,2) = \left< 3,0,12 \right>\qquad { \boldsymbol{\nabla} } G(0,1,2) = \left< 3,-1,4 \right>$

이다.

(a) $(0,1,2)$ 에서 $F$ 의 선형 근사는

$\begin{aligned} F(x,y,z) &\approx F(0,1,2) + F_x(0,1,2)\,x + F_y(0,1,2)\,(y-1) + F_z(0,1,2)\,(z-2) \\ &=8+ 3 x + 12 (z-2) \end{aligned}$

이다. 특히

$\begin{aligned} F(0.1\,,\,0.9\,,\,1.8) - F(0,1,2) &\approx 3(0.1) + 12(-0.2) =-2.1 \end{aligned}$

이다.

(b) $P$ 에서 $G$ 가 가장 빠르게 증가하는 방향은 ${ \boldsymbol{\nabla} } G(0,1,2) = \left< 3,-1,4 \right>$ 이다. 그 방향으로의 $F$ 의 방향미분계수는

$\begin{aligned} D_{\frac{\left< 3,-1,4\right>}{\sqrt{26}}}F(0,1,2) = { \boldsymbol{\nabla} } F(0,1,2) \cdot \frac{\left< 3,-1,4\right>}{\sqrt{26}} = \left< 3,0,12 \right>\cdot \frac{\left< 3,-1,4\right>}{\sqrt{26}} > 0 \end{aligned}$

이다. 따라서 $F$ 는 증가한다.

(c) $F$ 의 변화율이 0 이 되려면 $\left< a\,,\,b\,,\,c\right>$ 가 ${ \boldsymbol{\nabla} } F(0,1,2) = \left< 3,0,12 \right>$ 에 수직이어야 한다.

$G$ 의 변화율이 0 이 되려면 $\left< a\,,\,b\,,\,c\right>$ 가 ${ \boldsymbol{\nabla} } G(0,1,2) = \left< 3,-1,4 \right>$ 에 수직이어야 한다.

따라서 0이 아닌 임의의 상수 곱

$\begin{aligned} \det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 3 & 0 & 12 \\ 3 & -1 & 4 \end{matrix}\right] =\left< 12 \,,\, 24 \,,\, -3 \right> =3 \left< 4 \,,\, 8 \,,\, -1 \right> \end{aligned}$

이 조건을 만족하는 방향이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 방향도함수와 기울기벡터계산도전자동 분류