방향도함수와 기울기벡터 연습문제 — CLP-3 · 2.7절 · 31번

CLP-3 · 2.7절 · 31번대학 수준우리말 번역

함수 $F(x,y,z) = z^3 +xy^2 +xz$ 와 $G(x,y,z)=3x-y+4z$ 를 생각하세요. 당신은 점 $P(0,1,2)$ 에 서 있습니다.

(a) $P$ 에서 $Q(0.1\,,\,0.9\,,\,1.8)$ 로 뛰어갑니다. 선형 근사를 이용하여 $F$ 가 변하는 양을 대략 구하세요. (b) $P$ 에서 $G$ 가 가장 빠르게 증가하는 방향으로 뛰어갑니다. $F$ 는 증가하는지 감소하는지 판단하세요. (c) $P$ 에서 $F$ 와 $G$ 의 변화율이 모두 0 인 방향 $\left< a\,,\,b\,,\,c\right>$ 로 뛰어갑니다. 이러한 방향의 예를 하나 구하세요(단위벡터일 필요는 없습니다).

영어 원문 보기

Consider the functions $F(x,y,z) = z^3 +xy^2 +xz$ and $G(x,y,z)=3x-y+4z$ . You are standing at the point $P(0,1,2)$ .

(a) You jump from $P$ to $Q(0.1\,,\,0.9\,,\,1.8)$ . Use the linear approximation to determine approximately the amount by which $F$ changes. (b) You jump from $P$ in the direction along which $G$ increases most rapidly. Will $F$ increase or decrease? (c) You jump from $P$ in a direction $\left< a\,,\,b\,,\,c\right>$ along which the rates of change of $F$ and $G$ are both zero. Give an example of such a direction (need not be a unit vector).

정답·풀이 보기

$(0,1,2)$ 에서 $F$ 와 $G$ 의 기울기벡터가 모두 필요하다. 따라서 다음을 계산한다.

$\begin{aligned} \frac{\partial F}{\partial x}(x,y,z)&=y^2+z & \frac{\partial F}{\partial y}(x,y,z)&=2xy & \frac{\partial F}{\partial z}(x,y,z)&=3z^2+x \\ \frac{\partial G}{\partial x}(x,y,z)&=3 & \frac{\partial G}{\partial y}(x,y,z)&=-1 & \frac{\partial G}{\partial z}(x,y,z)&=4 \end{aligned}$

그러면

${ \boldsymbol{\nabla} } F(0,1,2) = \left< 3,0,12 \right>\qquad { \boldsymbol{\nabla} } G(0,1,2) = \left< 3,-1,4 \right>$

이다.

(a) $(0,1,2)$ 에서 $F$ 의 선형 근사는

$\begin{aligned} F(x,y,z) &\approx F(0,1,2) + F_x(0,1,2)\,x + F_y(0,1,2)\,(y-1) + F_z(0,1,2)\,(z-2) \\ &=8+ 3 x + 12 (z-2) \end{aligned}$

이다. 특히

$\begin{aligned} F(0.1\,,\,0.9\,,\,1.8) - F(0,1,2) &\approx 3(0.1) + 12(-0.2) =-2.1 \end{aligned}$

이다.

(b) $P$ 에서 $G$ 가 가장 빠르게 증가하는 방향은 ${ \boldsymbol{\nabla} } G(0,1,2) = \left< 3,-1,4 \right>$ 이다. 그 방향으로의 $F$ 의 방향미분계수는

$\begin{aligned} D_{\frac{\left< 3,-1,4\right>}{\sqrt{26}}}F(0,1,2) = { \boldsymbol{\nabla} } F(0,1,2) \cdot \frac{\left< 3,-1,4\right>}{\sqrt{26}} = \left< 3,0,12 \right>\cdot \frac{\left< 3,-1,4\right>}{\sqrt{26}} > 0 \end{aligned}$

이다. 따라서 $F$ 는 증가한다.

(c) $F$ 의 변화율이 0 이 되려면 $\left< a\,,\,b\,,\,c\right>$ 가 ${ \boldsymbol{\nabla} } F(0,1,2) = \left< 3,0,12 \right>$ 에 수직이어야 한다.

$G$ 의 변화율이 0 이 되려면 $\left< a\,,\,b\,,\,c\right>$ 가 ${ \boldsymbol{\nabla} } G(0,1,2) = \left< 3,-1,4 \right>$ 에 수직이어야 한다.

따라서 0이 아닌 임의의 상수 곱

$\begin{aligned} \det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 3 & 0 & 12 \\ 3 & -1 & 4 \end{matrix}\right] =\left< 12 \,,\, 24 \,,\, -3 \right> =3 \left< 4 \,,\, 8 \,,\, -1 \right> \end{aligned}$

이 조건을 만족하는 방향이다.

원본 교재 풀이(영어)

We are going to need the gradients of both $F$ and $G$ at $(0,1,2)$ . So we compute

and then

${ \boldsymbol{\nabla} } F(0,1,2) = \left< 3,0,12 \right>\qquad { \boldsymbol{\nabla} } G(0,1,2) = \left< 3,-1,4 \right>$

(a) The linear approximation to $F$ at $(0,1,2)$ is

$\begin{aligned} F(x,y,z) &\approx F(0,1,2) + F_x(0,1,2)\,x + F_y(0,1,2)\,(y-1) + F_z(0,1,2)\,(z-2) \\ &=8+ 3 x + 12 (z-2) \end{aligned}$

In particular

$\begin{aligned} F(0.1\,,\,0.9\,,\,1.8) - F(0,1,2) &\approx 3(0.1) + 12(-0.2) =-2.1 \end{aligned}$

(b) The direction along which $G$ increases most rapidly at $P$ is ${ \boldsymbol{\nabla} } G(0,1,2) = \left< 3,-1,4 \right>$ . The directional derivative of $F$ in that direction is

So $F$ increases.

(c) For the rate of change of $F$ to be zero, $\left< a\,,\,b\,,\,c\right>$ must be perpendicular to ${ \boldsymbol{\nabla} } F(0,1,2) = \left< 3,0,12 \right>$ .

For the rate of change of $G$ to be zero, $\left< a\,,\,b\,,\,c\right>$ must be perpendicular to ${ \boldsymbol{\nabla} } G(0,1,2) = \left< 3,-1,4 \right>$ .

So any nonzero constant times

is an allowed direction.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 4.6절 · 42번우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 점에서 $f$ 의 최대 변화율과 그것이 일어나는 방향을 구하세요.

$f(x,y)=\cos (3x+2y),\left(\frac{\pi }{6},-\frac{\pi }{8}\right)$

다 풀었으면 정답 확인

$\sqrt{\frac{13}{2}},\langle -3,-2\rangle$

이 문제로 이어서 풀기

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