방향도함수와 기울기벡터 연습문제 — CLP-3 · 2.7절 · 32번

CLP-3 · 2.7절 · 32번대학 수준우리말 번역

유성이 캐나다 중심부 지역의 땅에 떨어진다. 위성 사진을 이용하여, 그 결과로 생긴 크레이터의 모델

$z=f(x,y)=-\frac{100}{x^2+2x+4y^2+11}$

을 만들고, 이 장소를 관광 명소로 바꾸는 계획을 세운다. 주차장은 $(4,5)$ 에 만들고 등산로도 만들 예정이다. 등산로는 주차장에서 시작하여 크레이터 바닥까지 가장 가파른 경로를 따라 간다.

(a) 주차장, 함수 $f$ 의 등고선 몇 개, 그리고 등산로가 분명하게 표시된 계획 부지의 지도를 그리세요. (b) 등산로는 주차장에서 어느 방향으로 출발하는지 구하세요.

영어 원문 보기

A meteor strikes the ground in the heartland of Canada. Using satellite photographs, a model

$z=f(x,y)=-\frac{100}{x^2+2x+4y^2+11}$

of the resulting crater is made and a plan is drawn up to convert the site into a tourist attraction. A car park is to be built at $(4,5)$ and a hiking trail is to be made. The trail is to start at the car park and take the steepest route to the bottom of the crater.

(a) Sketch a map of the proposed site clearly marking the car park, a few level curves for the function $f$ and the trail. (b) In which direction does the trail leave the car park?

정답·풀이 보기

(a)

$z=-\frac{100}{x^2+2x+4y^2+11}=-\frac{100}{(x+1)^2+4y^2+10}$

이므로 크레이터의 바닥은 $x=-1$ , $y=0$ (분모가 최소가 되는 곳)에 있고, 등고선(등위곡선)은 방정식이 $(x+1)^2+4y^2=C$ 인 타원이다. 아래 그림에서 속이 찬 점은 크레이터의 바닥을, 속이 빈 점은 주차장을 나타낸다. 그린 등고선은 (안쪽부터 바깥쪽으로) $z=-7.5, -5, -2.5, -1$ 이다. 등산로가 등고선과 직각으로 만남에 유의한다.

(b) 등산로는

${ \boldsymbol{\nabla} } z = \frac{100}{{(x^2+2x+4y^2+11)}^2}(2x+2,8y)$

와 평행하다. 주차장에서는 ${ \boldsymbol{\nabla} } z(4,5)\parallel \left< 10, 40\right>\parallel \left< 1,4\right>$ 이다. 크레이터의 바닥을 향해 가려면 $-\left< 1,4\right>$ 방향으로 출발해야 한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Since

$z=-\frac{100}{x^2+2x+4y^2+11}=-\frac{100}{(x+1)^2+4y^2+10}$

the bottom of the crater is at $x=-1$ , $y=0$ (where the denominator is a minimum) and the contours (level curves) are ellipses having equations $(x+1)^2+4y^2=C$ . In the sketch below, the filled dot represents the bottom of the crater and the open dot represents the car park. The contours sketched are (from inside out) $z=-7.5, -5, -2.5, -1$ . Note that the trail crosses the contour lines at right angles.

(b) The trail is to be parallel to ${ \boldsymbol{\nabla} } z = \frac{100}{{(x^2+2x+4y^2+11)}^2}(2x+2,8y)$ At the car park ${ \boldsymbol{\nabla} } z(4,5)\parallel \left< 10, 40\right>\parallel \left< 1,4\right>$ . To move towards the bottom of the crater, we should leave in the direction $-\left< 1,4\right>$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.7절 · 33번우리말 번역

당신은 지수 사막 한가운데에 있는 외딴 야자나무 옆에 서 있습니다. 주변 모래언덕의 높이는 미터 단위로 다음과 같이 주어집니다. $h(x,y)=100 e^{-(x^2+2y^2)}$ 여기서 $x$ 는 야자나무에서 동쪽으로 떨어진 거리(미터)를 나타내며 $x$ 가 음수이면 서쪽을 뜻하고, $y$ 는 야자나무에서 북쪽으로 떨어진 거리(미터)를 나타내며 $y$ 가 음수이면 남쪽을 뜻합니다.

(a) 동쪽으로 $3$ 미터, 북쪽으로 2 미터 걸어갔다고 하자. 새 위치 $(3,2)$ 에서 모래언덕이 가장 가파르게 내려가는 방향은 어느 방향인지 구하세요. (b) (a)에서 구한 위치에서 북쪽으로 걸어가면 모래언덕 높이의 순간변화율은 얼마인지 구하세요. (c) $(3,2)$ 에 서 있을 때, 같은 높이를 유지하려면 어느 방향으로 걸어야 하는지 구하세요. (d) 곡선 위의 각 점에서 항상 가장 가파르게 내려가는 방향을 향하도록 따라 움직여야 할 곡선 중 $(3,2)$ 를 지나는 곡선의 방정식을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

다음을 얻는다.

${ \boldsymbol{\nabla} } h(x,y)= -200 e^{-(x^2+2y^2)}\left< x,2y\right>\text{ 이고, 특히 } { \boldsymbol{\nabla} } h(3,2)= -200 e^{-17}\left< 3,4\right>$

(a) $(3,2)$ 에서 모래언덕이 가장 가파르게 내려가는 방향은 ${ \boldsymbol{\nabla} } h(3,2)$ 와 반대 방향, 즉 $\left< 3,4\right>$ 의 (임의의 양의 배수) 방향이다.

(b) 변화율은 $D_{\hat{\boldsymbol{\jmath}}} h(3,2)={ \boldsymbol{\nabla} } h(3,2)\cdot\hat{\boldsymbol{\jmath}}=-800 e^{-17}$ 이다.

(c) 같은 높이를 유지하려면 ${ \boldsymbol{\nabla} } h(3,2)$ 에 수직인 방향으로 걸어야 한다. 따라서 $\pm\big(\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\big)$ 중 한 방향으로 걸어야 한다.

(d) 가장 가파르게 내려가는 곡선을 따라 걷고 있다고 하자. 그러면 $(x,y)$ 에서 $(x+\mathrm{d}x, y+\mathrm{d}y)$ 로 향하는 방향(단, $(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)$ 는 무한소)은 ${ \boldsymbol{\nabla} } h(x,y)= -200 e^{-(x^2+2y^2)}(x,2y)$ 와 반대여야 한다. 따라서 $(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)$ 는 $(x,2y)$ 와 평행해야 하므로 기울기는

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{2y}{x} \implies \frac{\mathrm{d}y}{y}=2\frac{\mathrm{d}x}{x} \implies \ln y=2\ln x+C \end{aligned}$

점 $(3,2)$ 를 지나려면 $\ln 2=2\ln 3+C$ 를 만족하도록 $C$ 를 택해야 한다. 따라서 $C=\ln\frac{2}{9}$ 이고 곡선은 $\ln y=2\ln x+\ln\frac{2}{9}$ 즉 $y=\frac{2}{9}x^2$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 방향도함수와 기울기벡터그래프·표 해석도전자동 분류