방향도함수와 기울기벡터 연습문제 — CLP-3 · 2.7절 · 33번

CLP-3 · 2.7절 · 33번대학 수준우리말 번역

당신은 지수 사막 한가운데에 있는 외딴 야자나무 옆에 서 있습니다. 주변 모래언덕의 높이는 미터 단위로 다음과 같이 주어집니다. $h(x,y)=100 e^{-(x^2+2y^2)}$ 여기서 $x$ 는 야자나무에서 동쪽으로 떨어진 거리(미터)를 나타내며 $x$ 가 음수이면 서쪽을 뜻하고, $y$ 는 야자나무에서 북쪽으로 떨어진 거리(미터)를 나타내며 $y$ 가 음수이면 남쪽을 뜻합니다.

(a) 동쪽으로 $3$ 미터, 북쪽으로 2 미터 걸어갔다고 하자. 새 위치 $(3,2)$ 에서 모래언덕이 가장 가파르게 내려가는 방향은 어느 방향인지 구하세요. (b) (a)에서 구한 위치에서 북쪽으로 걸어가면 모래언덕 높이의 순간변화율은 얼마인지 구하세요. (c) $(3,2)$ 에 서 있을 때, 같은 높이를 유지하려면 어느 방향으로 걸어야 하는지 구하세요. (d) 곡선 위의 각 점에서 항상 가장 가파르게 내려가는 방향을 향하도록 따라 움직여야 할 곡선 중 $(3,2)$ 를 지나는 곡선의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

You are standing at a lone palm tree in the middle of the Exponential Desert. The height of the sand dunes around you is given in meters by $h(x,y)=100 e^{-(x^2+2y^2)}$ where $x$ represents the number of meters east of the palm tree (west if $x$ is negative) and $y$ represents the number of meters north of the palm tree (south if $y$ is negative).

(a) Suppose that you walk $3$ meters east and 2 meters north. At your new location, $(3,2)$ , in what direction is the sand dune sloping most steeply downward? (b) If you walk north from the location described in part (a), what is the instantaneous rate of change of height of the sand dune? (c) If you are standing at $(3,2)$ in what direction should you walk to ensure that you remain at the same height? (d) Find the equation of the curve through $(3,2)$ that you should move along in order that you are always pointing in a steepest descent direction at each point of this curve.

정답·풀이 보기

다음을 얻는다.

${ \boldsymbol{\nabla} } h(x,y)= -200 e^{-(x^2+2y^2)}\left< x,2y\right>\text{ 이고, 특히 } { \boldsymbol{\nabla} } h(3,2)= -200 e^{-17}\left< 3,4\right>$

(a) $(3,2)$ 에서 모래언덕이 가장 가파르게 내려가는 방향은 ${ \boldsymbol{\nabla} } h(3,2)$ 와 반대 방향, 즉 $\left< 3,4\right>$ 의 (임의의 양의 배수) 방향이다.

(b) 변화율은 $D_{\hat{\boldsymbol{\jmath}}} h(3,2)={ \boldsymbol{\nabla} } h(3,2)\cdot\hat{\boldsymbol{\jmath}}=-800 e^{-17}$ 이다.

(c) 같은 높이를 유지하려면 ${ \boldsymbol{\nabla} } h(3,2)$ 에 수직인 방향으로 걸어야 한다. 따라서 $\pm\big(\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\big)$ 중 한 방향으로 걸어야 한다.

(d) 가장 가파르게 내려가는 곡선을 따라 걷고 있다고 하자. 그러면 $(x,y)$ 에서 $(x+\mathrm{d}x, y+\mathrm{d}y)$ 로 향하는 방향(단, $(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)$ 는 무한소)은 ${ \boldsymbol{\nabla} } h(x,y)= -200 e^{-(x^2+2y^2)}(x,2y)$ 와 반대여야 한다. 따라서 $(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)$ 는 $(x,2y)$ 와 평행해야 하므로 기울기는

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{2y}{x} \implies \frac{\mathrm{d}y}{y}=2\frac{\mathrm{d}x}{x} \implies \ln y=2\ln x+C \end{aligned}$

점 $(3,2)$ 를 지나려면 $\ln 2=2\ln 3+C$ 를 만족하도록 $C$ 를 택해야 한다. 따라서 $C=\ln\frac{2}{9}$ 이고 곡선은 $\ln y=2\ln x+\ln\frac{2}{9}$ 즉 $y=\frac{2}{9}x^2$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

We have

${ \boldsymbol{\nabla} } h(x,y)= -200 e^{-(x^2+2y^2)}\left< x,2y\right>\text{ and, in particular, } { \boldsymbol{\nabla} } h(3,2)= -200 e^{-17}\left< 3,4\right>$

(a) At $(3,2)$ the dune slopes downward the most steeply in the direction opposite ${ \boldsymbol{\nabla} } h(3,2)$ , which is (any positive multiple of) $\left< 3,4\right>$ .

(b) The rate is $D_{\hat{\boldsymbol{\jmath}}} h(3,2)={ \boldsymbol{\nabla} } h(3,2)\cdot\hat{\boldsymbol{\jmath}}=-800 e^{-17}$ .

(c) To remain at the same height, you should walk perpendicular to ${ \boldsymbol{\nabla} } h(3,2)$ . So you should walk in one of the directions $\pm\big(\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\big)$ .

(d) Suppose that you are walking along a steepest descent curve. Then the direction from $(x,y)$ to $(x+\mathrm{d}x, y+\mathrm{d}y)$ , with $(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)$ infinitesmal, must be opposite to ${ \boldsymbol{\nabla} } h(x,y)= -200 e^{-(x^2+2y^2)}(x,2y)$ . Thus $(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)$ must be parallel to $(x,2y)$ so that the slope

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{2y}{x} \implies \frac{\mathrm{d}y}{y}=2\frac{\mathrm{d}x}{x} \implies \ln y=2\ln x+C \end{aligned}$

We must choose $C$ to obey $\ln 2=2\ln 3+C$ in order to pass through the point $(3,2)$ . Thus $C=\ln\frac{2}{9}$ and the curve is $\ln y=2\ln x+\ln\frac{2}{9}$ or $y=\frac{2}{9}x^2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.7절 · 30번우리말 번역

함수 $T(x,y,z)$ 가 $P = (2,1,1)$ 에서 $T(P) = 5$ , $T_x (P) = 1$ , $T_y(P) = 2$ , $T_z(P) = 3$ 임이 알려져 있다.

(a) 꿀벌이 $P$ 에서 출발하여 점 $Q = (3,2,2)$ 를 향하는 단위벡터를 따라 날아간다. 이 방향으로의 $T(x,y,z)$ 의 변화율을 구하세요. (b) 점 $P$ 에서 $T$ 의 선형 근사를 이용하여 $T(1.9,1,1.2)$ 를 어림하세요. (c) $S(x,y,z) = x + z$ 라 하자. 꿀벌이 $P$ 에서 출발할 때, 이 방향으로의 $T(x,y,z)$ 의 변화율과 $S(x,y,z)$ 의 변화율이 모두 0이 되려면 어느 단위벡터 방향으로 날아가야 하는지 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) $P=(2,1,1)$ 에서 $Q=(3,2,2)$ 로 향하는 단위벡터 방향으로의 $T$ 의 방향도함수를 구하는 문제이다. 이 단위벡터는 $\frac{\left< 1,1,1\right>}{\sqrt{3}}$ 이다. 따라서 방향도함수는

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } T(P)\cdot \frac{\left< 1,1,1\right>}{\sqrt{3}} =\left< 1,2,3\right> \cdot \frac{\left< 1,1,1\right>}{\sqrt{3}} =2\sqrt{3} \end{aligned}$

이다.

(b) $P$ 에서 $T$ 의 선형 근사는

$\begin{aligned} T(2+\Delta x\,,\,1+\Delta y\,,\,1+\Delta z) &\approx T(P) + T_x(P)\,\Delta x + T_y(P)\,\Delta y + T_z(P)\,\Delta z \\ &= 5 +\Delta x +2\,\Delta y +3\,\Delta z \end{aligned}$

이다. 여기에 $\Delta x = -0.1$ , $\Delta y = 0$ , $\Delta z=0.2$ 를 대입하면

$\begin{aligned} T(1.9\,,\,1\,,\,1.2) &\approx 5 +(-0.1) +2\,(0) +3\,(0.2) =5.5 \end{aligned}$

이다.

(c) $T$ 의 변화율이 0이 되려면 운동 방향이 ${ \boldsymbol{\nabla} } T(P) = \left< 1,2,3\right>$ 에 수직이어야 한다. $S$ 의 변화율도 0이 되려면 운동 방향이 ${ \boldsymbol{\nabla} } S(P) = \left< 1,0,1\right>$ 에도 수직이어야 한다. 벡터

$\begin{aligned} \left< 1,2,3\right> \times \left< 1,0,1\right> &=\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}}\\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1\end{matrix}\right] =\left< 2,2,-2\right> \end{aligned}$

는 ${ \boldsymbol{\nabla} } T(P)$ 와 ${ \boldsymbol{\nabla} } S(P)$ 에 모두 수직이다. 따라서 구하는 단위벡터는 $\pm\frac{\left< 1,1,-1\right>}{\sqrt{3}}$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 방향도함수와 기울기벡터활용도전자동 분류