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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다변수 미분

편미분방정식 맛보기

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 2.8절 · 1번대학 수준우리말 번역

u(x,t)=e−t−x2u(x,t)= e^{-t-x^2} 이라 하자. u(x,t)u(x,t) 가 편미분방정식

uxx(x,t)+u(x,t)=g(x) ut(x,t)u_{xx}(x,t)+u(x,t) = g(x)\, u_t(x,t)

을 만족하도록 하는 함수 g(x)g(x) 를 구하세요.

영어 원문 보기

Let u(x,t)=e−t−x2u(x,t)= e^{-t-x^2}. Find a function g(x)g(x) so that u(x,t)u(x,t) obeys the partial differential equation

uxx(x,t)+u(x,t)=g(x) ut(x,t)u_{xx}(x,t)+u(x,t) = g(x)\, u_t(x,t)

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

먼저 u(x,t)=e−t−x2u(x,t)= e^{-t-x^2} 일 때 ut(x,t)u_t(x,t) 와 uxx(x,t)+u(x,t)u_{xx}(x,t)+u(x,t) 를 계산한다.

u(x,t)=e−t−x2ut(x,t)=−e−t−x2ux(x,t)=−2xe−t−x2uxx(x,t)=−2e−t−x2+4x2e−t−x2\begin{aligned} u(x,t)&= e^{-t-x^2} \\ u_t(x,t)&= -e^{-t-x^2} \\ u_x(x,t)&= -2x e^{-t-x^2} \\ u_{xx}(x,t)&= -2 e^{-t-x^2} +4x^2 e^{-t-x^2} \end{aligned}

따라서

uxx(x,t)+u(x,t)=[−2e−t−x2+4x2e−t−x2]+e−t−x2=[4x2−1]e−t−x2\begin{aligned} u_{xx}(x,t)+u(x,t) &= \big[-2 e^{-t-x^2} +4x^2 e^{-t-x^2}\big] +e^{-t-x^2} \\ &= \big[4x^2-1]e^{-t-x^2} \end{aligned}

이것이 g(x) ut(x,t)=−g(x) e−t−x2g(x)\, u_t(x,t) = -g(x)\, e^{-t-x^2} 와 같아지려면 g(x)=1−4x2g(x) = 1-4x^2 이어야 한다.

원본 교재 풀이(영어)

We start by evaluating ut(x,t)u_t(x,t) and uxx(x,t)+u(x,t)u_{xx}(x,t)+u(x,t) when u(x,t)=e−t−x2u(x,t)= e^{-t-x^2}.

u(x,t)=e−t−x2ut(x,t)=−e−t−x2ux(x,t)=−2xe−t−x2uxx(x,t)=−2e−t−x2+4x2e−t−x2\begin{aligned} u(x,t)&= e^{-t-x^2} \\ u_t(x,t)&= -e^{-t-x^2} \\ u_x(x,t)&= -2x e^{-t-x^2} \\ u_{xx}(x,t)&= -2 e^{-t-x^2} +4x^2 e^{-t-x^2} \end{aligned}

So

uxx(x,t)+u(x,t)=[−2e−t−x2+4x2e−t−x2]+e−t−x2=[4x2−1]e−t−x2\begin{aligned} u_{xx}(x,t)+u(x,t) &= \big[-2 e^{-t-x^2} +4x^2 e^{-t-x^2}\big] +e^{-t-x^2} \\ &= \big[4x^2-1]e^{-t-x^2} \end{aligned}

For this to equal g(x) ut(x,t)=−g(x) e−t−x2g(x)\, u_t(x,t) = -g(x)\, e^{-t-x^2}, we need g(x)=1−4x2g(x) = 1-4x^2.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.8절 · 2번우리말 번역

(a) 편미분방정식

ux=0u_x=0

을 만족하는 모든 함수 u(x,y)u(x,y) 를 구하세요. (b) f(x)f(x) 를 주어진 함수라 하자. 편미분방정식

ux(x,y)=f(x)u_x(x,y)= f(x)

을 만족하는 모든 함수 u(x,y)u(x,y) 를 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) 임의의 y0y_0 을 고정하고 v(x)=u(x,y0)v(x)=u(x,y_0) 라 하자. 그러면

dvdx(x)=∂u∂x(x,y0)=0\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}(x) =\frac{\partial u}{\partial x}(x,y_0) = 0 \end{aligned}

이다. 따라서 각각의 고정된 y0y_0 에 대해 xx 의 함수인 v(x)=u(x,y0)v(x)=u(x,y_0) 는 상수이어야 한다. 이 상수는 y0y_0 을 어떻게 택하느냐에 따라 달라질 수 있다. 따라서 u(x,y0)=C(y0)u(x,y_0) = C(y_0) 이며, C(y0)C(y_0) 은 y0y_0 에만 의존하고 xx 에는 의존하지 않는다. y0y_0 을 다시 yy 로 바꾸어 쓰면, u(x,y)=C(y)u(x,y)=C(y) 이고 C(y)C(y) 는 변수 yy 하나만의 임의의 함수이다.

(b) 임의의 y0y_0 을 고정하고 v(x)=u(x,y0)v(x)=u(x,y_0) 라 하자. 그러면

dvdx(x)=∂u∂x(x,y0)=f(x)\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}(x) =\frac{\partial u}{\partial x}(x,y_0) = f(x) \end{aligned}

이다. 말로 하면, v(x)v(x) 는 도함수가 f(x)f(x) 이어야 하고, 즉 f(x)f(x) 의 부정적분이어야 한다. 따라서 F(x)F(x) 가 도함수가 f(x)f(x) 인 임의의 함수, 즉 F(x)F(x) 가 f(x)f(x) 의 임의의 부정적분이면, 각각의 고정된 y0y_0 에 대해 v(x)=u(x,y0)=F(x)+Cv(x)=u(x,y_0) = F(x) +C 이고, 여기서 CC 는 상수이다. 이 상수는 y0y_0 을 어떻게 택하느냐에 따라 달라질 수 있다. 따라서 u(x,y0)=F(x)+C(y0)u(x,y_0) = F(x)+ C(y_0) 이며, C(y0)C(y_0) 은 y0y_0 에만 의존하고 xx 에는 의존하지 않는다. y0y_0 을 다시 yy 로 바꾸어 쓰면, u(x,y)=F(x)+C(y)u(x,y)=F(x) + C(y) 이고 F(x)F(x) 는 f(x)f(x) 의 임의의 부정적분, C(y)C(y) 는 변수 yy 하나만의 임의의 함수이다.

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