편미분방정식 맛보기 연습문제 — CLP-3 · 2.8절 · 9번

CLP-3 · 2.8절 · 9번대학 수준우리말 번역

$u_1(x,t)$ 와 $u_2(x,t)$ 가 모두 파동방정식 $u_{tt}=u_{xx}$ 의 해이고, $a_1$ 과 $a_2$ 는 상수라 하자. $u(x,t)=a_1u_1(x,t)+a_2u_2(t,x)$ 도 $u_{tt}=u_{xx}$ 의 해임을 보이세요. 이 성질 때문에 파동방정식을 선형 편미분방정식이라고 한다.

영어 원문 보기

Let $u_1(x,t)$ and $u_2(x,t)$ both be solutions of the wave equation $u_{tt}=u_{xx}$ and let $a_1$ and $a_2$ be constants. Show that $u(x,t)=a_1u_1(x,t)+a_2u_2(t,x)$ is also a solution of $u_{tt}=u_{xx}$ . Because of this property, the wave equation is said to be a linear PDE.

정답·풀이 보기

$u_1(x,t)$ 와 $u_2(x,t)$ 가 $\frac{\partial^2}{\partial t^2}u_1(x,t) =\frac{\partial^2}{\partial x^2}u_1(x,t)$ 과 $\frac{\partial^2}{\partial t^2}u_2(x,t) =\frac{\partial^2}{\partial x^2}u_2(x,t)$ 을 만족시킨다고 하자. 그러면 $u(x,t)=a_1u_1(x,t)+a_2u_2(t,x)$ 는 다음을 만족시킨다.

$\begin{aligned} u_{tt}(x,t) &= \frac{\partial^2}{\partial t^2} \big[a_1u_1(x,t)+a_2u_2(t,x)\big] \\ &=a_1\frac{\partial^2}{\partial t^2}u_1(x,t) + a_2\frac{\partial^2}{\partial t^2}u_2(x,t) \\ &=a_1\frac{\partial^2}{\partial x^2}u_1(x,t) + a_2\frac{\partial^2}{\partial x^2}u_2(x,t) \\ &= \frac{\partial^2}{\partial x^2}\big[a_1u_1(x,t)+a_2u_2(t,x)\big] \\ &=u_{xx}(x,t) \end{aligned}$

따라서 보이려던 바가 성립한다.

원본 교재 풀이(영어)

Let $u_1(x,t)$ and $u_2(x,t)$ obey $\frac{\partial^2}{\partial t^2}u_1(x,t) =\frac{\partial^2}{\partial x^2}u_1(x,t)$ and $\frac{\partial^2}{\partial t^2}u_2(x,t) =\frac{\partial^2}{\partial x^2}u_2(x,t)$ . Then $u(x,t)=a_1u_1(x,t)+a_2u_2(t,x)$ obeys

as desired.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.8절 · 4번우리말 번역

$u(x,t) = e^{t+ax} + e^{t-ax}$ 라 하자. 여기서 $a$ 는 상수이다. $5u_t = u_{xx} + u$ 를 만족시키는 $a$ 의 값을 구하세요.

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

$u=u(x,t) = e^{t+ax} + e^{t-ax}$ 일 때, 주어진 편미분방정식의 양변을 각각 계산한다. 다음이 성립하므로

$\begin{aligned} u(x,t) &= e^{t+ax} + e^{t-ax} \\ u_t(x,t) &= e^{t+ax} + e^{t-ax} \\ u_x(x,t) &= ae^{t+ax} - ae^{t-ax}\qquad & u_{xx}(x,t) &= a^2e^{t+ax} + a^2e^{t-ax} \end{aligned}$

편미분방정식의 좌변은

$5u_t = 5e^{t+ax} + 5e^{t-ax}$

이고, 편미분방정식의 우변은

$\begin{aligned} u_{xx} + u &=\big(a^2e^{t+ax} + a^2e^{t-ax}\big)+\big(e^{t+ax} + e^{t-ax}\big) \\ &= (a^2+1)e^{t+ax} + (a^2+1)e^{t-ax} \end{aligned}$

이다. 좌변과 우변이 같을 필요충분조건은

$\begin{aligned} 5=(a^2+1) \iff a^2=4 \iff a=\pm 2 \end{aligned}$

이다.

이 문제로 이어서 풀기

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