편미분방정식 맛보기 연습문제 — CLP-3 · 2.8절 · 10번

CLP-3 · 2.8절 · 10번대학 수준우리말 번역

$v(x,y)$ 를 조화함수라 하자. 즉, $v(x,y)$ 는 $v_{xx}+v_{yy}=0$ 을 만족한다. $a$ , $b$ , $c$ , $d$ 는 상수라 하자. 벡터 $\left< a,b\right>$ 와 $\left< c,d\right>$ 의 길이가 같고 서로 $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$ (빈칸에 알맞은 말을 쓰세요) 이면, $u(x,y)=v(ax+by\,,\,cx+dy)$ 도 조화함수임을 보이세요.

영어 원문 보기

Let $v(x,y)$ be a harmonic function. That is, $v(x,y)$ obeys $v_{xx}+v_{yy}=0$ . Let $a$ , $b$ , $c$ , $d$ be constants. Show that if the vectors $\left< a,b\right>$ and $\left< c,d\right>$ have the same length and are mutually $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$ (fill in the missing word), then $u(x,y)=v(ax+by\,,\,cx+dy)$ is also a harmonic function.

정답·풀이 보기

$u(x,y)=v(ax+by\,,\,cx+dy)$ 에 대하여 $u_{xx}+u_{yy}$ 를 계산한다. 연쇄 법칙에 의해

$\begin{aligned} u(x,y) &= v(ax+by\,,\,cx+dy)\\ u_x(x,y) &= a\,v_x(ax+by\,,\,cx+dy)+c\,v_y(ax+by\,,\,cx+dy) \\ u_y(x,y) &= b\,v_x(ax+by\,,\,cx+dy)+d\,v_y(ax+by\,,\,cx+dy) \\ u_{xx}(x,y) &= a^2\,v_{xx}(ax+by\,,\,cx+dy)+ ac\,v_{xy}(ax+by\,,\,cx+dy) \\ & + ca\,v_{yx}(ax+by\,,\,cx+dy) +c^2\,v_{yy}(ax+by\,,\,cx+dy) \\ u_{yy}(x,y) &= b^2\,v_{xx}(ax+by\,,\,cx+dy)+ bd\,v_{xy}(ax+by\,,\,cx+dy) \\ & + db\,v_{yx}(ax+by\,,\,cx+dy) +d^2\,v_{yy}(ax+by\,,\,cx+dy) \end{aligned}$

이므로 다음을 얻는다.

$\begin{aligned} u_{xx}+u_{yy} &=(a^2+b^2) v_{xx}(ax+by\,,\,cx+dy) +(c^2+d^2) v_{yy}(ax+by\,,\,cx+dy) \\& +2(ac+bd) v_{xy}(ax+by\,,\,cx+dy) \end{aligned}$

$a^2+b^2=c^2+d^2$ 이면, 즉 $\left< a,b\right>$ 와 $\left< c,d\right>$ 의 길이가 같으면, $v_{xx}+v_{yy}=0$ 이므로 우변의 첫째 줄은 0이다.
$\left< a,b\right>\cdot\left< c,d\right>=ac+bd=0$ 이면, 즉 $\left< a,b\right>$ 와 $\left< c,d\right>$ 가 서로 수직이면, 우변의 둘째 줄은 0이다.

따라서 $\left< a,b\right>$ 와 $\left< c,d\right>$ 의 길이가 같고 서로 수직이면 $u_{xx}+u_{yy}=0$ 이다. 빈칸에 알맞은 말은 “수직”이다.

원본 교재 풀이(영어)

We evaluate $u_{xx}+u_{yy}$ with $u(x,y)=v(ax+by\,,\,cx+dy)$ . Since, by the chain rule,

we have

$\begin{aligned} u_{xx}+u_{yy} &=(a^2+b^2) v_{xx}(ax+by\,,\,cx+dy) +(c^2+d^2) v_{yy}(ax+by\,,\,cx+dy) \\& +2(ac+bd) v_{xy}(ax+by\,,\,cx+dy) \end{aligned}$

If $a^2+b^2=c^2+d^2$ , i.e. if $\left< a,b\right>$ and $\left< c,d\right>$ have the same length, then the first line of the right hand side is zero, since $v_{xx}+v_{yy}=0$ .
If $\left< a,b\right>\cdot\left< c,d\right>=ac+bd=0$ , i.e. if $\left< a,b\right>$ and $\left< c,d\right>$ are mutally perpendicular, then the second line of the right hand side is zero.

So if $\left< a,b\right>$ and $\left< c,d\right>$ have the same length and are mutally perpendicular, then $u_{xx}+u_{yy}=0$ . The missing word is “perpendicular”.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.8절 · 9번우리말 번역

$u_1(x,t)$ 와 $u_2(x,t)$ 가 모두 파동방정식 $u_{tt}=u_{xx}$ 의 해이고, $a_1$ 과 $a_2$ 는 상수라 하자. $u(x,t)=a_1u_1(x,t)+a_2u_2(t,x)$ 도 $u_{tt}=u_{xx}$ 의 해임을 보이세요. 이 성질 때문에 파동방정식을 선형 편미분방정식이라고 한다.

다 풀었으면 정답 확인

$u_1(x,t)$ 와 $u_2(x,t)$ 가 $\frac{\partial^2}{\partial t^2}u_1(x,t) =\frac{\partial^2}{\partial x^2}u_1(x,t)$ 과 $\frac{\partial^2}{\partial t^2}u_2(x,t) =\frac{\partial^2}{\partial x^2}u_2(x,t)$ 을 만족시킨다고 하자. 그러면 $u(x,t)=a_1u_1(x,t)+a_2u_2(t,x)$ 는 다음을 만족시킨다.

$\begin{aligned} u_{tt}(x,t) &= \frac{\partial^2}{\partial t^2} \big[a_1u_1(x,t)+a_2u_2(t,x)\big] \\ &=a_1\frac{\partial^2}{\partial t^2}u_1(x,t) + a_2\frac{\partial^2}{\partial t^2}u_2(x,t) \\ &=a_1\frac{\partial^2}{\partial x^2}u_1(x,t) + a_2\frac{\partial^2}{\partial x^2}u_2(x,t) \\ &= \frac{\partial^2}{\partial x^2}\big[a_1u_1(x,t)+a_2u_2(t,x)\big] \\ &=u_{xx}(x,t) \end{aligned}$

따라서 보이려던 바가 성립한다.

이 문제로 이어서 풀기

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