극값과 안장점 연습문제 — CLP-3 · 2.9절 · 2번

CLP-3 · 2.9절 · 2번대학 수준우리말 번역

$(x,y)$ 가 정사각형 영역 $|x|\le 1$ , $|y|\le 1$ 에서 변할 때, 곡면 $\ z=\sqrt{x^2+y^2}\$ 의 가장 높은 점과 가장 낮은 점을 구하세요. 그 점들에서 $\ z_x,\ z_y\$ 의 값에 대해 논하세요. 답하는 과정에서 도함수를 구하지 마세요.

영어 원문 보기

Find the high and low points of the surface $\ z=\sqrt{x^2+y^2}\$ with $(x,y)$ varying over the square $\ |x|\le 1$ , $|y|\le 1\$ . Discuss the values of $\ z_x,\ z_y\$ there. Do not evaluate any derivatives in answering this question.

정답·풀이 보기

$(x,y)$ 에서의 높이 $\sqrt{x^2+y^2}$ 은 $(x,y)$ 에서 $(0,0)$ 까지의 거리이다. 따라서 최소 높이는 $(0,0,0)$ 에서 0이다. 이 곡면은 원뿔이다. 원뿔은 $(0,0,0)$ 에서 뾰족하며, 그 점에서 미분계수 $z_x$ 와 $z_y$ 는 존재하지 않는다. 최대 높이는 $(x,y)$ 가 $(0,0)$ 에서 가능한 한 멀리 있을 때 얻어진다. 가장 높은 점은 $(\pm 1,\pm 1,\sqrt{2})$ 이다. 이 점들에서 $z_x$ 와 $z_y$ 는 존재하지만 0이 아니다. $|x|,|y|\le 1$ 이라는 제한이 없다면 이 점들은 가장 높은 점이 아닐 것이다.

원본 교재 풀이(영어)

The height $\sqrt{x^2+y^2}$ at $(x,y)$ is the distance from $(x,y)$ to $(0,0)$ . So the minimum height is zero at $(0,0,0)$ . The surface is a cone. The cone has a point at $(0,0,0)$ and the derivatives $z_x$ and $z_y$ do not exist there. The maximum height is achieved when $(x,y)$ is as far as possible from $(0,0)$ . The highest points are at $(\pm 1,\pm 1,\sqrt{2})$ . There $z_x$ and $z_y$ exist but are not zero. These points would not be the highest points if it were not for the restriction $|x|,|y|\le 1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제APEX · 12.8절 · 6번우리말 번역

다변수 연쇄 법칙을 이용하면 두 개의 _____ 도함수만 계산하여 음함수의 도함수를 쉽게 구할 수 있다.

다 풀었으면 정답 확인

편

이 문제로 이어서 풀기

# 극값과 안장점계산기본자동 분류