극값과 안장점 연습문제 — CLP-3 · 2.9절 · 12번

CLP-3 · 2.9절 · 12번대학 수준우리말 번역

$(x,y)$ 가 정사각형 $0\le x\le 1$ , $0\le y\le 1$ 위의 모든 점을 움직일 때, $f(x,y)=xy-x^3y^2$ 의 최댓값과 최솟값을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the maximum and minimum values of $f(x,y)=xy-x^3y^2$ when $(x,y)$ runs over the square $0\le x\le 1$ , $0\le y\le 1$ .

정답·풀이 보기

주어진 함수와 그 1계 도함수는 다음과 같다.

$\begin{aligned} f(x,y)=xy-x^3y^2\qquad f_x(x,y)=y-3x^2y^2\qquad f_y(x,y)=x-2x^3y \end{aligned}$

먼저 임계점을 구한다.

$\begin{aligned} f_x&=0 & &\quad\iff\quad &y(1-3x^2y)&=0 & &\quad\iff\quad & &y=0 \text{ 또는 } 3x^2y=1 \\ f_y&=0 & &\quad\iff\quad &x(1-2x^2y)&=0 & &\quad\iff\quad & &x=0 \text{ 또는 } 2x^2y=1 \end{aligned}$

$y=0$ 이면 $2x^2y=1$ 일 수 없으므로 $x=0$ 이어야 한다.
$3x^2y=1$ 이면 $x=0$ 일 수 없으므로 $2x^2y=1$ 이어야 한다. 두 식을 나누면 $1=\frac{3x^2y}{2x^2y}=\frac{3}{2}$ 이 되어 불가능하다.

따라서 정사각형 안의 임계점은 $(0,0)$ 뿐이다. 그 점에서 $f=0$ 이다.

다음으로 경계 중 $x=0$ 인 부분을 살펴본다. 그 위에서 $f=0$ 이다.
다음으로 경계 중 $y=0$ 인 부분을 살펴본다. 그 위에서 $f=0$ 이다.
다음으로 경계 중 $x=1$ 인 부분을 살펴본다. 그 위에서 $f=y-y^2$ 이다. $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}(y-y^2)=1-2y$ 이므로, $0\le y\le 1$ 에서 $y-y^2$ 의 최댓값과 최솟값은 $y=0$ (이때 $f=0$ ) 또는 $y=\tfrac{1}{2}$ (이때 $f=\frac{1}{4}$ ) 또는 $y=1$ (이때 $f=0$ ) 에서만 나타날 수 있다.
다음으로 경계 중 $y=1$ 인 부분을 살펴본다. 그 위에서 $f=x-x^3$ 이다. $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x-x^3)=1-3x^2$ 이므로, $0\le x\le 1$ 에서 $x-x^3$ 의 최댓값과 최솟값은 $x=0$ (이때 $f=0$ ) 또는 $x=\frac{1}{\sqrt{3}}$ (이때 $f=\frac{2}{3\sqrt{3}}$ ) 또는 $x=1$ (이때 $f=0$ ) 에서만 나타날 수 있다.

이상을 모으면 최댓값과 최솟값의 후보는 다음과 같다.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{점} & (0,0) & x=0 & y=0 & (1,0) & (1,\tfrac{1}{2}) & (1,1) & (0,1) & (\frac{1}{\sqrt{3}},1) & (1,1) \\ \hline \text{함숫값 }f & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{4} & 0 & 0 & \frac{2}{3\sqrt{3}} & 0 \\ \hline & \text{최소} & \text{최소} & \text{최소} & \text{최소} & & \text{최소} & \text{최소} & \text{최대} & \text{최소} \\ \hline \end{array}$

이 표에서 $f$ 의 가장 큰 값과 가장 작은 값은 다음과 같다.

$\text{최소}=0\qquad \text{최대}=\frac{2}{3\sqrt{3}}\approx0.385$

원본 교재 풀이(영어)

The specified function and its first order derivatives are

$\begin{aligned} f(x,y)=xy-x^3y^2\qquad f_x(x,y)=y-3x^2y^2\qquad f_y(x,y)=x-2x^3y \end{aligned}$

First, we find the critical points.

$\begin{aligned} f_x&=0 & &\quad\iff\quad &y(1-3x^2y)&=0 & &\quad\iff\quad & &y=0 \text{ or } 3x^2y=1 \\ f_y&=0 & &\quad\iff\quad &x(1-2x^2y)&=0 & &\quad\iff\quad & &x=0 \text{ or } 2x^2y=1 \end{aligned}$

If $y=0$ , we cannot have $2x^2y=1$ , so we must have $x=0$ .
If $3x^2y=1$ , we cannot have $x=0$ , so we must have $2x^2y=1$ . Dividing gives $1=\frac{3x^2y}{2x^2y}=\frac{3}{2}$ which is impossible.

So the only critical point in the square is $(0,0)$ . There $f=0$ .

Next, we look at the part of the boundary with $x=0$ . There $f=0$ .
Next, we look at the part of the boundary with $y=0$ . There $f=0$ .
Next, we look at the part of the boundary with $x=1$ . There $f=y-y^2$ . As $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}(y-y^2)=1-2y$ , the max and min of $y-y^2$ for $0\le y\le 1$ must occur either at $y=0$ , where $f=0$ , or at $y=\tfrac{1}{2}$ , where $f=\frac{1}{4}$ , or at $y=1$ , where $f=0$ .
Next, we look at the part of the boundary with $y=1$ . There $f=x-x^3$ . As $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x-x^3)=1-3x^2$ , the max and min of $x-x^3$ for $0\le x\le 1$ must occur either at $x=0$ , where $f=0$ , or at $x=\frac{1}{\sqrt{3}}$ , where $f=\frac{2}{3\sqrt{3}}$ , or at $x=1$ , where $f=0$ .

All together, we have the following candidates for max and min.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{point} & (0,0) & x=0 & y=0 & (1,0) & (1,\tfrac{1}{2}) & (1,1) & (0,1) & (\frac{1}{\sqrt{3}},1) & (1,1) \\ \hline \text{value of }f & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{4} & 0 & 0 & \frac{2}{3\sqrt{3}} & 0 \\ \hline & \text{min} & \text{min} & \text{min} & \text{min} & & \text{min} & \text{min} & \text{max} & \text{min} \\ \hline \end{array}$

The largest and smallest values of $f$ in this table are

$\text{min}=0\qquad \text{max}=\frac{2}{3\sqrt{3}}\approx0.385$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.9절 · 13번우리말 번역

원판 $x^2+y^2\le 1$ 위의 모든 점에서의 온도가 $T(x,y)=(x+y)e^{-x^2-y^2}$ 으로 주어질 때, 이 원판 위의 점에서의 최고 온도와 최저 온도를 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

주어진 온도 함수와 그 1계 편도함수는 다음과 같다.

$\begin{aligned} T(x,y)&=(x+y)e^{-x^2-y^2}\\ T_x(x,y)&=(1-2x^2-2xy)e^{-x^2-y^2}\\ T_y(x,y)&=(1-2xy-2y^2)e^{-x^2-y^2} \end{aligned}$

먼저 임계점을 구한다.

$\begin{aligned} T_x&=0 & &\quad\iff\quad & 2x(x+y)&=1 \\ T_y&=0 & &\quad\iff\quad & 2y(x+y)&=1 \end{aligned}$

$x+y$ 는 0이 될 수 없으므로 $x=y$ 이고, 따라서 $x=y=\pm\tfrac{1}{2}$ 이다. 그러므로 임계점은 $(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2})$ 과 $(-\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2})$ 뿐이다.

경계에서는 $x=\cos\theta$ , $y=\sin\theta$ 이므로 $T=(\cos\theta+\sin\theta)e^{-1}$ 이다. 이 함수는 주기함수이므로 최댓값과 최솟값은 $\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}\theta}=\big(-\sin\theta+\cos\theta\big)e^{-1}$ 이 0이 되는 곳에서 나타난다. 즉 $\sin\theta=\cos\theta$ 일 때이고, 따라서 $\sin\theta=\cos\theta=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$ 이다.

종합하면 최댓값과 최솟값의 후보는 다음과 같다.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{점} & (\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}) & (-\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}) & (\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}) & (-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}) \\ \hline \text{함숫값 }T & \frac{1}{\sqrt{e}}\approx0.61 & -\frac{1}{\sqrt{e}} & \frac{\sqrt{2}}{e}\approx0.52 & -\frac{\sqrt{2}}{e} \\ \hline & \text{최대} & \text{최소} & & \\ \hline \end{array}$

이 표에서 $T$ 의 가장 큰 값과 가장 작은 값은

$\text{최소}=-\frac{1}{\sqrt{e}}\qquad \text{최대}=\frac{1}{\sqrt{e}}$

이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 극값과 안장점계산보통자동 분류