극값과 안장점 연습문제 — CLP-3 · 2.9절 · 21번

CLP-3 · 2.9절 · 21번대학 수준우리말 번역

함수

$f(x,y)=2x^3 - 6xy + y^2 +4y$

를 생각하세요.

(a) $f(x,y)$ 의 모든 임계점을 구하고 분류하세요. (b) 꼭짓점이 $(1,0)$ , $(0,1)$ , $(1,1)$ 인 삼각형 영역에서 $f(x,y)$ 의 최댓값과 최솟값을 구하세요.

영어 원문 보기

Consider the function

$f(x,y)=2x^3 - 6xy + y^2 +4y$

(a) Find and classify all of the critical points of $f(x,y)$ . (b) Find the maximum and minimum values of $f(x,y)$ in the triangle with vertices $(1,0)$ , $(0,1)$ and $(1,1)$ .

정답·풀이 보기

(a)

$\begin{aligned} f&=2x^3 - 6xy + y^2 +4y \\ f_x&=6x^2-6y & f_{xx}&=12x\qquad && f_{xy}&= -6\\ f_y&=-6x+2y+4\qquad & f_{yy}&=2 \end{aligned}$

이므로 임계점은 다음 식의 해이다.

$\begin{aligned} & & &f_x=0\qquad & &f_y=0 \\ &\iff\qquad& &y=x^2\qquad & &y-3x+2=0 \\ &\iff& &y=x^2 & &x^2-3x+2=0 \\ &\iff& &y=x^2 & &x=1\text{ 또는 }2 \end{aligned}$

따라서 임계점은 $(1,1),\ (2,4)$ 의 두 개이다.

$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \genfrac{}{}{0pt}{}{\text{임계}}{\text{점}} & f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2 & f_{xx} & \text{종류} \\ \hline (1,1) & 12\times 2-(-6)^2<0 & & \text{안장점} \\ \hline (2,4) & 24\times 2-(-6)^2>0 & 24 & \text{극소} \\ \hline \end{array}$

(b) 허용된 영역의 내부에는 임계점이 없으므로 최댓값과 최솟값은 모두 경계에서만 나타난다. 경계는 선분 (i) $x=1$ , $0\le y\le 1$ , (ii) $y=1$ , $0\le x\le 1$ , (iii) $y=1-x$ , $0\le x\le 1$ 로 이루어져 있다.

먼저 경계 중 $x=1$ 인 부분을 살펴보자. 여기서 $f=y^2-2y+2$ 이다. $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}(y^2-2y+2)=2y-2$ 는 $y=1$ 에서만 $0$ 이 되므로, $0\le y\le 1$ 에서 $y^2-2y+2$ 의 최댓값과 최솟값은 $y=0$ 일 때( $f=2$ ) 또는 $y=1$ 일 때( $f=1$ )에 나타난다.
다음으로 경계 중 $y=1$ 인 부분을 살펴보자. 여기서 $f=2x^3-6x+5$ 이다. $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2x^3-6x+5)=6x^2-6$ 이므로, $0\le x\le 1$ 에서 $2x^3-6x+5$ 의 최댓값과 최솟값은 $x=0$ 일 때( $f=5$ ) 또는 $x=1$ 일 때( $f=1$ )에 나타난다.
다음으로 경계 중 $y=1-x$ 인 부분을 살펴보자. 여기서 $f=2x^3-6x(1-x) +(1-x)^2+4(1-x)=2x^3+7x^2-12x+5$ 이다. $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2x^3+7x^2-12x+5)=6x^2+14x-12 =2\big(3x^2+7x-6\big) =2(3x-2)(x+3)$ 이므로, $0\le x\le 1$ 에서 $2x^3+7x^2-12x+5$ 의 최댓값과 최솟값은 $x=0$ 일 때( $f=5$ ), 또는 $x=1$ 일 때( $f=2$ ), 또는 $x=\frac{2}{3}$ 일 때( $f=2(\frac{8}{27})-6(\frac{2}{3})(\frac{1}{3})+\frac{1}{9}+\frac{4}{3} =\frac{16-36+3+36}{27} =\frac{19}{27}$ )에 나타난다.

따라서 종합하면 최댓값과 최솟값의 후보는 다음과 같으며, 최댓값과 최솟값을 표시하였다.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{점} & (1,0) & (1,1) & (0,1) & \big(\frac{2}{3},\frac{1}{3}\big) \\ \hline \text{함숫값 }f & 2 & 1 & 5 & \frac{19}{27} \\ \hline & & & \text{최대} & \text{최소} \\ \hline \end{array}$

원본 교재 풀이(영어)

(a) Since

$\begin{aligned} f&=2x^3 - 6xy + y^2 +4y \\ f_x&=6x^2-6y & f_{xx}&=12x\qquad && f_{xy}&= -6\\ f_y&=-6x+2y+4\qquad & f_{yy}&=2 \end{aligned}$

the critical points are the solutions of

$\begin{aligned} & & &f_x=0\qquad & &f_y=0 \\ &\iff\qquad& &y=x^2\qquad & &y-3x+2=0 \\ &\iff& &y=x^2 & &x^2-3x+2=0 \\ &\iff& &y=x^2 & &x=1\text{ or }2 \end{aligned}$

So, there are two critical points: $(1,1),\ (2,4)$ .

$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \genfrac{}{}{0pt}{}{\text{critical}}{\text{point}} & f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2 & f_{xx} & \text{type} \\ \hline (1,1) & 12\times 2-(-6)^2<0 & & \text{saddle point} \\ \hline (2,4) & 24\times 2-(-6)^2>0 & 24 & \text{local min} \\ \hline \end{array}$

(b) There are no critical points in the interior of the allowed region, so both the maximum and the minimum occur only on the boundary. The boundary consists of the line segments (i) $x=1$ , $0\le y\le 1$ , (ii) $y=1$ , $0\le x\le 1$ and (iii) $y=1-x$ , $0\le x\le 1$ .

First, we look at the part of the boundary with $x=1$ . There $f=y^2-2y+2$ . As $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}(y^2-2y+2)=2y-2$ vanishes only at $y=1$ , the max and min of $y^2-2y+2$ for $0\le y\le 1$ must occur either at $y=0$ , where $f=2$ , or at $y=1$ , where $f=1$ .
Next, we look at the part of the boundary with $y=1$ . There $f=2x^3-6x+5$ . As $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2x^3-6x+5)=6x^2-6$ , the max and min of $2x^3-6x+5$ for $0\le x\le 1$ must occur either at $x=0$ , where $f=5$ , or at $x=1$ , where $f=1$ .
Next, we look at the part of the boundary with $y=1-x$ . There $f=2x^3-6x(1-x) +(1-x)^2+4(1-x)=2x^3+7x^2-12x+5$ . As $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2x^3+7x^2-12x+5)=6x^2+14x-12 =2\big(3x^2+7x-6\big) =2(3x-2)(x+3)$ , the max and min of $2x^3+7x^2-12x+5$ for $0\le x\le 1$ must occur either at $x=0$ , where $f=5$ , or at $x=1$ , where $f=2$ , or at $x=\frac{2}{3}$ , where $f=2(\frac{8}{27})-6(\frac{2}{3})(\frac{1}{3})+\frac{1}{9}+\frac{4}{3} =\frac{16-36+3+36}{27} =\frac{19}{27}$ .

So all together, we have the following candidates for max and min, with the max and min indicated.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{point} & (1,0) & (1,1) & (0,1) & \big(\frac{2}{3},\frac{1}{3}\big) \\ \hline \text{value of }f & 2 & 1 & 5 & \frac{19}{27} \\ \hline & & & \text{max} & \text{min} \\ \hline \end{array}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.9절 · 27번우리말 번역

함수 $g(x,y)=x^2-10y-y^2$ 을 생각하세요.

(a) $g$ 의 모든 임계점을 구하고 분류하세요. (b) 다음으로 주어진 유계인 영역에서 $g$ 의 절대 극값을 구하세요.

$x^2+4y^2\le 16,\ y\le 0$

다 풀었으면 정답 확인

(a) 다음과 같다.

$\begin{aligned} g(x,y)&=x^2-10y-y^2 \qquad& g_x(x,y)&=2x \qquad& g_{xx}(x,y)&=2\\ & & g_y(x,y)&=-10-2y\qquad & g_{yy}(x,y)&=-2 \\ & & & &g_{xy}(x,y)&=0 \end{aligned}$

임계점에서

$\begin{aligned} g_x(x,y)=g_y(x,y)=0 \iff 2x=0\text{ 이고 }-10-2y=0 \iff (x,y)=(0,-5) \end{aligned}$

$g_{xx}(0,-5)g_{yy}(0,-5)-g_{xy}(0,-5)^2=2\times(-2)-0^2<0$ 이므로 이 임계점은 안장점이다.

(b) 극값은 영역의 경계 위에 있거나 영역의 내부에 있어야 한다.

경계 중 반타원 부분에서는 $-2\le y\le 0$ 이고 $x^2+4y^2=16$ 이므로 $g=x^2-10y-y^2=16-10y-5y^2=21-5(y+1)^2$ 이다. 이 값은 최솟값 16 ( $y=0,-2$ 일 때)과 최댓값 21 ( $y=-1$ 일 때)을 가진다. $16-10y-5y^2$ 의 임계점(즉 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}(16-10y-5y^2)=0$ 을 푼 값)을 확인하고 허용된 구간의 양 끝점(곧 $y=0$ 과 $y=-2$ )을 확인해도 같은 결론에 이를 수 있다.
경계 중 평평한 부분에서는 $y=0$ 이고 $-4\le x\le 4$ 이므로 $g=x^2$ 이다. 최솟값은 $x=0$ 일 때 $0$ 이고 최댓값은 $x=\pm 4$ 일 때 $16$ 이다.
극값이 판의 내부에 있다면 그 점은 $g(x,y)$ 의 임계점이어야 한다. 유일한 임계점은 주어진 영역 안에 있지 않다.

다음은 극값의 모든 후보를 나타낸 표이다.

$\begin{array}{|c|c|}\hline (x,y) & g(x,y) \\ \hline (0,-2) & 16 \\ \hline (\pm 4,0) & 16 \\ \hline (\pm \sqrt{12},-1) & 21 \\ \hline (0,0) & 0 \\ \hline \end{array}$

표에서 $g$ 의 최솟값은 $(0,0)$ 에서 $0$ 이고 최댓값은 $(\pm 2\sqrt{3},-1)$ 에서 $21$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 극값과 안장점계산보통자동 분류