극값과 안장점 연습문제 — CLP-3 · 2.9절 · 25번

CLP-3 · 2.9절 · 25번대학 수준우리말 번역

금속판이 $x$ 축과 $x^2+y^2=4$ 의 위쪽 절반으로 둘러싸인 반원 모양의 원판이다. 점 $(x,y)$ 에서의 온도는 $T(x,y)=\ln\big(1+x^2+y^2\big)-y$ 로 주어진다. 판 위에서 가장 차가운 점을 구하되, 풀이 과정을 자세히 설명하세요. (참고: $\ln 2\approx 0.693$ , $\ln 5\approx 1.609$ )

영어 원문 보기

A metal plate is in the form of a semi-circular disc bounded by the $x$ -axis and the upper half of $x^2+y^2=4$ . The temperature at the point $(x,y)$ is given by $T(x,y)=\ln\big(1+x^2+y^2\big)-y$ . Find the coldest point on the plate, explaining your steps carefully. (Note: $\ln 2\approx 0.693$ , $\ln 5\approx 1.609$ )

정답·풀이 보기

가장 차가운 점은 판의 경계 위에 있거나 판의 내부에 있어야 한다.

경계 중 반원 부분에서는 $0\le y\le 2$ 이고 $x^2+y^2=4$ 이므로 $T=\ln\big(1+x^2+y^2\big)-y=\ln 5-y$ 이다. $\ln 5-y$ 의 최솟값은 $y$ 가 가능한 한 클 때, 즉 $y=2$ 일 때 나타나며 그 값은 $\ln 5 -2\approx -0.391$ 이다.
경계 중 평평한 부분에서는 $y=0$ 이고 $-2\le x\le 2$ 이므로 $T=\ln\big(1+x^2+y^2\big)-y=\ln\big(1+x^2\big)$ 이다. $\ln\big(1+x^2\big)$ 의 최솟값은 $x$ 가 가능한 한 작을 때, 즉 $x=0$ 일 때 나타나며 그 값은 $0$ 이다.
가장 차가운 점이 판의 내부에 있다면 그 점은 $T(x,y)$ 의 임계점이어야 한다.

$\begin{aligned} T_x(x,y)=\frac{2x}{1+x^2+y^2}\qquad T_y(x,y)=\frac{2y}{1+x^2+y^2}-1 \end{aligned}$

이므로 임계점에서는 $x=0$ 이고 $\frac{2y}{1+x^2+y^2}-1=0$ 이어야 한다. 이는 $x=0$ 이고 $2y-1-y^2=0$ 일 때, 그리고 그때에만 성립한다. 따라서 유일한 임계점은 $x=0,\ y=1$ 이며, 이때 $T=\ln 2-1\approx -0.307$ 이다.

$-0.391<-0.307<0$ 이므로 가장 낮은 온도는 $-0.391$ 이고 가장 차가운 점은 $(0,2)$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The coldest point must be either on the boundary of the plate or in the interior of the plate.

On the semi–circular part of the boundary $0\le y\le 2$ and $x^2+y^2=4$ so that $T=\ln\big(1+x^2+y^2\big)-y=\ln 5-y$ . The smallest value of $\ln 5-y$ is taken when $y$ is as large as possible, i.e. when $y=2$ , and is $\ln 5 -2\approx -0.391$ .
On the flat part of the boundary, $y=0$ and $-2\le x\le 2$ so that $T=\ln\big(1+x^2+y^2\big)-y=\ln\big(1+x^2\big)$ . The smallest value of $\ln\big(1+x^2\big)$ is taken when $x$ is as small as possible, i.e. when $x=0$ , and is $0$ .
If the coldest point is in the interior of the plate, it must be at a critical point of $T(x,y)$ . Since

$\begin{aligned} T_x(x,y)=\frac{2x}{1+x^2+y^2}\qquad T_y(x,y)=\frac{2y}{1+x^2+y^2}-1 \end{aligned}$

a critical point must have $x=0$ and $\frac{2y}{1+x^2+y^2}-1=0$ , which is the case if and only if $x=0$ and $2y-1-y^2=0$ . So the only critical point is $x=0,\ y=1$ , where $T=\ln 2-1\approx -0.307$ .

Since $-0.391<-0.307<0$ , the coldest temperture is $-0.391$ and the coldest point is $(0,2)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.9절 · 24번우리말 번역

함수

$f(x,y)=x^4+y^4-4xy$

의 모든 임계점을 $xy$ 평면에서 구하세요. 각 임계점이 극솟값, 극댓값, 안장점 중 무엇인지 분류하세요.

다 풀었으면 정답 확인

다음과 같다.

$\begin{aligned} f(x,y)&=x^4+y^4-4xy\qquad & f_x(x,y)&=4x^3-4y\qquad & f_{xx}(x,y)&=12x^2\\ & & f_y(x,y)&=4y^3-4x & f_{yy}(x,y)&=12y^2 \\ & & & &f_{xy}(x,y)&=-4 \end{aligned}$

임계점에서

$\begin{aligned} f_x(x,y)=f_y(x,y)=0 &\iff y=x^3\text{ 그리고 }x=y^3 \iff x=x^9\text{ 그리고 }y=x^3 \\ &\iff x(x^8-1)=0,\ y=x^3\\ &\iff (x,y)=(0,0)\text{ 또는 }(1,1)\text{ 또는 }(-1,-1) \end{aligned}$

세 임계점 각각의 분류를 나타낸 표는 다음과 같다.

$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \genfrac{}{}{0pt}{}{\text{임계}}{\text{점}} & f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2 & f_{xx} & \text{종류} \\ \hline (0,0) & 0\times 0-(-4)^2<0 & & \text{안장점} \\ \hline (1,1) & 12\times 12-(-4)^2>0 & \text{12} & \text{극솟값} \\ \hline (-1,-1) & 12\times 12-(-4)^2>0 & \text{12} & \text{극솟값} \\ \hline \end{array}$

이 문제로 이어서 풀기

# 극값과 안장점활용보통자동 분류