극값과 안장점 연습문제 — CLP-3 · 2.9절 · 31번

CLP-3 · 2.9절 · 31번대학 수준우리말 번역

부피가 $V$ 로 고정되어 있고 뚜껑이 없는 직육면체 상자 중에서 가장 경제적인 모양을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the most economical shape of a rectangular box that has a fixed volume $V$ and that has no top.

정답·풀이 보기

상자의 각 모서리의 길이를 $x$ , $y$ , $z$ 라고 하자. 그림은 다음과 같다.

상자의 부피가 $V$ 이어야 하므로 $V=xyz$ 이어야 한다. 옆면 네 개와 밑면의 넓이 $A=xy+2yz+2xz$ 를 최소로 만들려고 한다. $z=\frac{V}{xy}$ 를 대입하면

$\begin{aligned} A&=xy+2\frac{V}{x}+2\frac{V}{y}\\ A_x&=y-2\frac{V}{x^2}\\ A_y&=x-2\frac{V}{y^2} \end{aligned}$

최소가 되려면 $A_x=A_y=0$ 이어야 하며, 이는 $yx^2=2V,\ xy^2=2V$ 일 때이다. 따라서 $yx^2=xy^2$ 이다. $V=xyz$ 가 0이 아니므로 $x$ 와 $y$ 는 어느 쪽도 0이 될 수 없다. 그러므로 $x=y=(2V)^{1/3}$ , $z=2^{-2/3}V^{1/3}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Suppose that the box has side lengths $x$ , $y$ and $z$ . Here is a sketch.

Because the box has to have volume $V$ we need that $V=xyz$ . We wish to minimize the area $A=xy+2yz+2xz$ of the four sides and bottom. Substituting in $z=\frac{V}{xy}$ ,

$\begin{aligned} A&=xy+2\frac{V}{x}+2\frac{V}{y}\\ A_x&=y-2\frac{V}{x^2}\\ A_y&=x-2\frac{V}{y^2} \end{aligned}$

To minimize, we want $A_x=A_y=0$ , which is the case when $yx^2=2V,\ xy^2=2V$ . This forces $yx^2=xy^2$ . Since $V=xyz$ is nonzero, neither $x$ nor $y$ may be zero. So $x=y=(2V)^{1/3}$ , $z=2^{-2/3}V^{1/3}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.9절 · 32번우리말 번역

$xy$ 평면 위의 한 점에서의 온도 $T(x,y)$ 가 다음과 같이 주어져 있다.

$T(x,y) = 20 - 4x^2 - y^2$

(a) $x^2 + y^2 \le 4$ 로 정의된 원판 $D$ 에서 $T(x,y)$ 의 최댓값과 최솟값을 구하세요. (b) 개미가 원판 $D$ 위에 산다고 하자. 개미가 처음에 점 $(1, 1)$ 에 있다면, 온도를 가능한 한 빠르게 높이려면 어느 방향으로 움직여야 하는지 구하세요. (c) 개미가 속도 $\mathbf{v} = \left< -2, -1\right>$ 로 움직인다고 하자. 개미가 $(1, 1)$ 을 지날 때 온도의 증가율을 구하세요. (d) 개미가 곡선 $y = 2 - x^2$ 위에만 머물러야 한다고 하자. 개미가 가능한 한 따뜻하기를 원한다면 어디로 가야 하는지 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) 최댓값과 최솟값은 원판의 내부 또는 원판의 경계에서 나타날 수 있다. 원판의 경계는 원 $x^2+y^2=4$ 이다.

원판 내부에서의 절대 최댓값 또는 절대 최솟값은 반드시 극댓값 또는 극솟값이기도 하고, 특이점이 없으므로 $h$ 의 임계점이기도 하다. $T_x=-8x$ , $T_y=-2y$ 이므로 유일한 임계점은 $(x,y)=(0,0)$ 이고, 이때 $T=20$ 이다. $4x^2+y^2\ge 0$ 이므로 $T(x,y)=20-4x^2-y^2\le 20$ 이다. 따라서 $T$ 의 최댓값은 ( $\mathbb{R}^2$ 전체에서도) $20$ 이다.
$x^2+y^2=4$ 위의 각 점에서 $T(x,y)=20-4x^2-y^2=20 -4x^2-(4-x^2)=16-3x^2$ 이고 $-2\le x\le 2$ 이다. 따라서 $x^2$ 이 최대일 때 $T$ 는 최소이다. 그러므로 원판에서 $T$ 의 최솟값은 $16-3(\pm 2)^2=4$ 이다.

따라서 종합하면, $x^2+y^2\le 4$ 에서 $T(x,y)$ 의 최댓값과 최솟값은 각각 $20$ (점 $(0,0)$ 에서), $4$ (점 $(\pm 2,0)$ 에서)이다.

(b) 온도를 가능한 한 빠르게 높이려면 개미는 온도의 기울기 벡터 방향으로 움직여야 한다. ${ \boldsymbol{\nabla} } T(1,1)=\left< -8x,-2y\right>\Big|_{(x,y)=(1,1)}=\left< -8,-2\right>$ . 이 방향의 단위벡터는 $\frac{1}{\sqrt{17}}\left< -4,-1\right>$ 이다.

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } T(1,1)\cdot\left< -2,-1\right> =\left< -8,-2\right>\cdot\left< -2,-1\right> =18 \end{aligned}$

(d) 다음을 최대로 하는 $(x,y)=(x,2-x^2)$ 을 구하는 문제이다.

$\begin{aligned} T\big(x,2-x^2\big) =20 -4x^2-\big(2-x^2\big)^2 = 16-x^4 \end{aligned}$

$16-x^4$ 의 최댓값은 $x=0$ 일 때 $16$ 임이 분명하다. 따라서 개미는 $\big(0,2-0^2\big)=(0,2)$ 로 가야 한다.

이 문제로 이어서 풀기

# 극값과 안장점계산보통자동 분류