극좌표 이중적분 연습문제 — CLP-3 · 3.2절 · 4번

CLP-3 · 3.2절 · 4번대학 수준우리말 번역

$\left< a, b\right>$ 를 벡터라 하자. $r$ 를 $\left< a, b\right>$ 의 길이, $\theta$ 를 $\left< a, b\right>$ 와 $x$ 축 사이의 각이라 하자.

(a) $a$ 와 $b$ 를 $r$ 과 $\theta$ 로 나타내세요. (b) $\left< A, B\right>$ 를 $\left< a, b\right>$ 를 시점을 중심으로 각 $\varphi$ 만큼 회전하여 얻은 벡터라 하자. $A$ 와 $B$ 를 $a$ , $b$ , $\varphi$ 로 나타내세요.

영어 원문 보기

Let $\left< a, b\right>$ be a vector. Let $r$ be the length of $\left< a, b\right>$ and $\theta$ be the angle between $\left< a, b\right>$ and the $x$ -axis.

(a) Express $a$ and $b$ in terms of $r$ and $\theta$ . (b) Let $\left< A, B\right>$ be the vector gotten by rotating $\left< a, b\right>$ by an angle $\varphi$ about its tail. Express $A$ and $B$ in terms of $a$ , $b$ and $\varphi$ .

정답·풀이 보기

다음은 $\left< a, b\right>$ 와 $\left< A, B\right>$ 의 개략도이다.

(a) 그림에서

$\begin{aligned} a&=r\cos\theta\\ b&=r\sin\theta \end{aligned}$

(b) 벡터 $\left< A, B\right>$ 의 길이는 이번에도 $r$ 이고 $\left< A, B\right>$ 와 $x$ 축 사이의 각은 $\theta +\varphi$ 이다. 따라서

$\begin{aligned} A&=r\cos(\theta+\varphi) &&=r\cos\theta\cos\varphi-r\sin\theta\sin\varphi &&=a\cos\varphi-b\sin\varphi\\ B&=r\sin(\theta+\varphi) &&=r\sin\theta\cos\varphi+r\cos\theta\sin\varphi &&=b\cos\varphi+a\sin\varphi \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Here is a sketch of $\left< a, b\right>$ and $\left< A, B\right>$ .

(a) From the sketch,

$\begin{aligned} a&=r\cos\theta\\ b&=r\sin\theta \end{aligned}$

(b) The length of the vector $\left< A, B\right>$ is again $r$ and the angle between $\left< A, B\right>$ and the $x$ -axis is $\theta +\varphi$ . So

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 5.3절 · 18번우리말 번역

다음 연습문제에서, 극직사각형 영역 $D$ 위에서 이중적분 $\iint_{R}f(x,y)dA$ 의 값을 구하세요.

$f(x,y)={x}^{4}+2{x}^{2}{y}^{2}+{y}^{4}$ , 단, $D=\{(r,\theta )|3\le r\le 4,\frac{\pi }{3}\le \theta \le \frac{2\pi }{3}\}.$

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

$\frac{3367\pi }{18}$

이 문제로 이어서 풀기

# 극좌표 이중적분계산기본자동 분류