극좌표 이중적분 연습문제 — CLP-3 · 3.2절 · 6번

CLP-3 · 3.2절 · 6번대학 수준우리말 번역

다음 각 극좌표 적분에 대하여 적분 영역을 $xy$ -평면에 그리세요.

(a) $\displaystyle \int_1^2\mathrm{d}r \int_{-{\pi}/{4}}^{{\pi}/{4}}\mathrm{d}\theta \ r\ f(r\cos\theta,r\sin\theta)$ (b) $\displaystyle \int_0^{{\pi}/{4}}\mathrm{d}\theta \int_0^{\frac{2}{\sin\theta+\cos\theta}}\mathrm{d}r \ r\ f(r\cos\theta,r\sin\theta)$ (c) $\displaystyle \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_0^{\frac{3}{\sqrt{\cos^2\theta+9\sin^2\theta}}}\mathrm{d}r \ r\ f(r\cos\theta,r\sin\theta)$

영어 원문 보기

Sketch the domain of integration in the $xy$ -plane for each of the following polar coordinate integrals.

정답·풀이 보기

(a) 적분 영역을 $D$ 라 하자. 기호 $\displaystyle \int_1^2\mathrm{d}r \int_{-{\pi}/{4}}^{{\pi}/{4}}\mathrm{d}\theta$ 는 $D$ 에서 다음이 성립함을 나타낸다.

$r$ 는 $1$ 에서 $2$ 까지 변하고,
그 범위의 각 $r$ 에 대하여 $\theta$ 는 $-\frac{\pi}{4}$ 에서 $\frac{\pi}{4}$ 까지 변한다.

직교좌표로 나타내면

$r=1$ 은 원 $x^2+y^2=1$ 이고,
$r=2$ 는 원 $x^2+y^2=4$ 이고,
$\theta=\frac{\pi}{4}$ 는 반직선 $y=x$ , $x\ge 0$ 이고,
$\theta=-\frac{\pi}{4}$ 는 반직선 $y=-x$ , $x\ge 0$ 이다.

따라서

$\begin{aligned} D=\big\{ \ (x,y)\ \big|\ 1\le x^2+y^2\le 4,\ -x\le y\le x,\ x\ge 0\ \big\} \end{aligned}$

두 개의 그림이 있다. $D$ 는 오른쪽 그림에서 색칠한 영역이다.

(b) 적분 영역을 $D$ 라 하자. 기호 $\int_0^{{\pi}/{4}}\mathrm{d}\theta \int_0^{\frac{2}{\sin\theta+\cos\theta}}\mathrm{d}r$ 는 $D$ 에서 다음이 성립함을 나타낸다.

$\theta$ 는 $0$ 에서 ${\pi}/{4}$ 까지 변하고,
그 범위의 각 $\theta$ 에 대하여 $r$ 는 $0$ 에서 $\frac{2}{\sin\theta+\cos\theta}$ 까지 변한다.

직교좌표로 나타내면

$\theta=0$ 은 양의 $x$ 축이고,
$\theta={\pi}/{4}$ 는 반직선 $y=x$ , $x\ge 0$ 이고,
$r=\frac{2}{\sin\theta+\cos\theta}$ , 즉 $r\cos\theta+r\sin\theta=2$ 는 직선 $x+y=2$ 이다.

아래 왼쪽 그림을 보면, 직선 $y=x$ 와 $x+y=2$ 가 $(1,1)$ 에서 만나므로

$\begin{aligned} D=\big\{ \ (x,y)\ \big|\ 0\le y\le 1,\ y\le x\le 2-y\ \big\} \end{aligned}$

$D$ 는 오른쪽 그림에서 색칠한 영역이다.

(c) 적분 영역을 $D$ 라 하자. 기호 $\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_0^{\frac{3}{\sqrt{\cos^2\theta+9\sin^2\theta}}}\mathrm{d}r$ 는 $D$ 에서 다음이 성립함을 나타낸다.

$\theta$ 는 $0$ 에서 $2\pi$ 까지 한 바퀴 변하고,
각 $\theta$ 에 대하여 $r$ 는 $0$ 에서 $\frac{3}{\sqrt{\cos^2\theta+9\sin^2\theta}}$ 까지 변한다.

직교좌표로 나타내면

$r=\frac{3}{\sqrt{\cos^2\theta+9\sin^2\theta}}$ , 즉 $r^2\cos^2\theta+9r^2\sin^2\theta=9$ 는 타원 $x^2+9y^2=9$ 이다.

따라서 $D$ 는 타원 $x^2+9y^2=9$ 의 내부이고, $D$ 는 오른쪽 그림에서 색칠한 영역이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Let $D$ denote the domain of integration. The symbols $\displaystyle \int_1^2\mathrm{d}r \int_{-{\pi}/{4}}^{{\pi}/{4}}\mathrm{d}\theta$ say that, on $D$ ,

$r$ runs from $1$ to $2$ and
for each $r$ in that range, $\theta$ runs from $-\frac{\pi}{4}$ to $\frac{\pi}{4}$ .

In Cartesian coordinates

$r=1$ is the circle $x^2+y^2=1$ and
$r=2$ is the circle $x^2+y^2=4$ and
$\theta=\frac{\pi}{4}$ is the ray $y=x$ , $x\ge 0$ and
$\theta=-\frac{\pi}{4}$ is the ray $y=-x$ , $x\ge 0$ .

$\begin{aligned} D=\big\{ \ (x,y)\ \big|\ 1\le x^2+y^2\le 4,\ -x\le y\le x,\ x\ge 0\ \big\} \end{aligned}$

Here are two sketches. $D$ is the shaded region in the sketch on the right.

(b) Let $D$ denote the domain of integration. The symbols $\int_0^{{\pi}/{4}}\mathrm{d}\theta \int_0^{\frac{2}{\sin\theta+\cos\theta}}\mathrm{d}r$ say that, on $D$ ,

$\theta$ runs from $0$ to ${\pi}/{4}$ and
for each $\theta$ in that range, $r$ runs from $0$ to $\frac{2}{\sin\theta+\cos\theta}$ .

In Cartesian coordinates

$\theta=0$ is the positive $x$ -axis and
$\theta={\pi}/{4}$ is the ray $y=x$ , $x\ge 0$ and
$r=\frac{2}{\sin\theta+\cos\theta}$ , or equivalently $r\cos\theta+r\sin\theta=2$ , is the line $x+y=2$ .

Looking at the sketch on the left below, we see that, since the lines $y=x$ and $x+y=2$ cross at $(1,1)$ ,

$\begin{aligned} D=\big\{ \ (x,y)\ \big|\ 0\le y\le 1,\ y\le x\le 2-y\ \big\} \end{aligned}$

$D$ is the shaded region in the sketch on the right.

(c) Let $D$ denote the domain of integration. The symbols $\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_0^{\frac{3}{\sqrt{\cos^2\theta+9\sin^2\theta}}}\mathrm{d}r$ say that, on $D$ ,

$\theta$ runs all the way from $0$ to $2\pi$ and
for each $\theta$ , $r$ runs from $0$ to $\frac{3}{\sqrt{\cos^2\theta+9\sin^2\theta}}$ .

In Cartesian coordinates

$r=\frac{3}{\sqrt{\cos^2\theta+9\sin^2\theta}}$ , or equivalently $r^2\cos^2\theta+9r^2\sin^2\theta=9$ , is the ellipse $x^2+9y^2=9$ .

So $D$ is the interior of the ellipse $x^2+9y^2=9$ and $D$ is the shaded region in the sketch on the right.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 3.2절 · 4번우리말 번역

$\left< a, b\right>$ 를 벡터라 하자. $r$ 를 $\left< a, b\right>$ 의 길이, $\theta$ 를 $\left< a, b\right>$ 와 $x$ 축 사이의 각이라 하자.

(a) $a$ 와 $b$ 를 $r$ 과 $\theta$ 로 나타내세요. (b) $\left< A, B\right>$ 를 $\left< a, b\right>$ 를 시점을 중심으로 각 $\varphi$ 만큼 회전하여 얻은 벡터라 하자. $A$ 와 $B$ 를 $a$ , $b$ , $\varphi$ 로 나타내세요.

다 풀었으면 정답 확인

다음은 $\left< a, b\right>$ 와 $\left< A, B\right>$ 의 개략도이다.

(a) 그림에서

$\begin{aligned} a&=r\cos\theta\\ b&=r\sin\theta \end{aligned}$

(b) 벡터 $\left< A, B\right>$ 의 길이는 이번에도 $r$ 이고 $\left< A, B\right>$ 와 $x$ 축 사이의 각은 $\theta +\varphi$ 이다. 따라서

$\begin{aligned} A&=r\cos(\theta+\varphi) &&=r\cos\theta\cos\varphi-r\sin\theta\sin\varphi &&=a\cos\varphi-b\sin\varphi\\ B&=r\sin(\theta+\varphi) &&=r\sin\theta\cos\varphi+r\cos\theta\sin\varphi &&=b\cos\varphi+a\sin\varphi \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 극좌표 이중적분그래프·표 해석기본자동 분류