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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다중적분

극좌표 이중적분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 3.2절 · 8번대학 수준우리말 번역

구 x2+y2+z2=2x^2+y^2+z^2=2 의 안쪽에 있고 포물면 z=x2+y2z=x^2+y^2 의 위쪽에 있는 부분의 부피를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the volume lying inside the sphere x2+y2+z2=2x^2+y^2+z^2=2 and above the paraboloid z=x2+y2z=x^2+y^2.

정답·풀이 보기

위쪽 곡면 x2+y2+z2=2x^2+y^2+z^2=2 와 아래쪽 곡면 z=x2+y2z=x^2+y^2 은 zz 가 x2+y2=z=2−z2x^2+y^2=z=2-z^2 을 만족할 때 만난다. 즉 0=z2+z−2=(z−1)(z+2)0=z^2+z-2=(z-1)(z+2) 일 때이다. 근 z=−2z=-2 는 z=x2+y2≥0z=x^2+y^2\ge 0 과 모순이다. 따라서 위쪽 곡면과 아래쪽 곡면은 원 z=1z=1, x2+y2=1x^2+y^2=1 에서 만난다.

극좌표에서 위쪽 곡면은 z2=2−r2z^2=2-r^2, 곧 z=2−r2z=\sqrt{2-r^2} 이고, 아래쪽 곡면은 z=r2z=r^2 이다. 따라서 극좌표가 (r,θ)(r,\theta) 인 점 위쪽에 있는 입체의 높이는 2−r2−r2\sqrt{2-r^2}-r^2 이므로

Volume=∫01dr∫02πdθ r [2−r2−r2]=2π∫01dr r [2−r2−r2]=2π[−13(2−r2)3/2−r44]01=2π[−13−14+1323/2]=π[432−76]≈2.26\begin{aligned} \text{Volume}&=\int_0^1\mathrm{d}r\int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta\ r\,\big[\sqrt{2-r^2}-r^2\big] =2\pi \int_0^1\mathrm{d}r\ r\,\big[\sqrt{2-r^2}-r^2\big]\\ &=2\pi \left[-\frac{1}{3}{(2-r^2)}^{3/2}-\frac{r^4}{4}\right]_0^1 =2\pi \left[-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}2^{3/2}\right] \\ &=\pi \left[\frac{4}{3}\sqrt{2}-\frac{7}{6}\right] \approx 2.26 \end{aligned}

직교좌표에서는

Volume=4∫01dx∫01−x2dy [2−x2−y2−x2−y2]\begin{aligned} \text{Volume}&=4\int_0^1\mathrm{d}x\int_0^{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{d}y\ \big[\sqrt{2-x^2-y^2}-x^2-y^2\big] \end{aligned}

이다.

yy 에 대한 적분은 치환 y=2−x2cos⁡ty=\sqrt{2-x^2}\cos t 를 써서 계산할 수 있지만, 극좌표를 쓰는 편이 더 쉽다.

원본 교재 풀이(영어)

The top surface x2+y2+z2=2x^2+y^2+z^2=2 meets the bottom surface z=x2+y2z=x^2+y^2 when zz obeys x2+y2=z=2−z2x^2+y^2=z=2-z^2. That is, when 0=z2+z−2=(z−1)(z+2)0=z^2+z-2=(z-1)(z+2). The root z=−2z=-2 is inconsistent with z=x2+y2≥0z=x^2+y^2\ge 0. So the top and bottom surfaces meet at the circle z=1z=1, x2+y2=1x^2+y^2=1.

In polar coordinates, the top surface is z2=2−r2z^2=2-r^2, or equivalently z=2−r2z=\sqrt{2-r^2}, and the bottom surface is z=r2z=r^2. So the height of the volume above the point with polar coordinates (r,θ)(r,\theta) is 2−r2−r2\sqrt{2-r^2}-r^2 and

Volume=∫01dr∫02πdθ r [2−r2−r2]=2π∫01dr r [2−r2−r2]=2π[−13(2−r2)3/2−r44]01=2π[−13−14+1323/2]=π[432−76]≈2.26\begin{aligned} \text{Volume}&=\int_0^1\mathrm{d}r\int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta\ r\,\big[\sqrt{2-r^2}-r^2\big] =2\pi \int_0^1\mathrm{d}r\ r\,\big[\sqrt{2-r^2}-r^2\big]\\ &=2\pi \left[-\frac{1}{3}{(2-r^2)}^{3/2}-\frac{r^4}{4}\right]_0^1 =2\pi \left[-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}2^{3/2}\right] \\ &=\pi \left[\frac{4}{3}\sqrt{2}-\frac{7}{6}\right] \approx 2.26 \end{aligned}

In Cartesian coordinates

Volume=4∫01dx∫01−x2dy [2−x2−y2−x2−y2]\begin{aligned} \text{Volume}&=4\int_0^1\mathrm{d}x\int_0^{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{d}y\ \big[\sqrt{2-x^2-y^2}-x^2-y^2\big] \end{aligned}

The yy integral can be done using the substitution y=2−x2cos⁡ty=\sqrt{2-x^2}\cos t, but it is easier to use polar coordinates.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 3.2절 · 10번우리말 번역

a>0a>0 이라 하자. 두 원기둥 x2+y2≤2axx^2+y^2\le 2ax 와 z2≤2axz^2\le 2ax 의 공통부분의 부피를 구하세요.

답 쓰고 채점
다 풀었으면 정답 확인

아래 그림은 주어진 입체를 위에서 본 모양이다. (x,y)(x,y) 는 원 x2+y2=2axx^2+y^2=2ax 의 내부 전체를 움직인다. 이 원판 안의 각 고정된 (x,y)(x,y) 에 대해 zz 는 −2ax-\sqrt{2ax} 에서 +2ax+\sqrt{2ax} 까지 움직인다. 극좌표에서 이 원은 r2=2arcos⁡θr^2=2ar\cos\theta 또는 r=2acos⁡θr=2a\cos\theta 이다.

그림

이 입체는 y→−yy\rightarrow -y 와 z→−zz\rightarrow -z 에 대해 대칭이므로 y≥0y\ge 0, z≥0z\ge 0 인 부분만 생각하고 4를 곱하면 된다. 부피는

부피=4∫0π2dθ∫02acos⁡θdr r2arcos⁡θ=4∫0π2dθ 2acos⁡θ 25 r5/2∣02acos⁡θ=85∫0π2dθ (2acos⁡θ)3=645a3∫0π2dθ cos⁡θ(1−sin⁡2θ)=645a3∫01dt (1−t2) 여기서 t=sin⁡θ=645a3[t−t33]01=12815a3\begin{aligned} \text{부피} &=4\int_0^{\pi\over 2} \mathrm{d}\theta\int_0^{2a\cos\theta} \mathrm{d}r\ r\sqrt{2ar\cos\theta} \\ &=4\int_0^{\pi\over 2} \mathrm{d}\theta\ \sqrt{2a\cos\theta}\ \frac{2}{5}\ r^{5/2}\bigg|_0^{2a\cos\theta} \\ &=\frac{8}{5}\int_0^{\pi\over 2} \mathrm{d}\theta\ \big(2a\cos\theta\big)^3 =\frac{64}{5}a^3\int_0^{\pi\over 2} \mathrm{d}\theta\ \cos\theta\big(1-\sin^2\theta\big)\\ &=\frac{64}{5}a^3\int_0^1 dt\ \big(1-t^2\big) \qquad\text{ 여기서 $t=\sin\theta$}\\ &=\frac{64}{5}a^3\left[t-\frac{t^3}{3}\right]_0^1 =\frac{128}{15}a^3 \end{aligned}

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