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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다중적분

극좌표 이중적분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 3.2절 · 10번대학 수준우리말 번역

a>0a>0 이라 하자. 두 원기둥 x2+y2≤2axx^2+y^2\le 2ax 와 z2≤2axz^2\le 2ax 의 공통부분의 부피를 구하세요.

영어 원문 보기

Let a>0a>0. Find the volume common to the cylinders x2+y2≤2axx^2+y^2\le 2ax and z2≤2axz^2\le 2ax.

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정답·풀이 보기

아래 그림은 주어진 입체를 위에서 본 모양이다. (x,y)(x,y) 는 원 x2+y2=2axx^2+y^2=2ax 의 내부 전체를 움직인다. 이 원판 안의 각 고정된 (x,y)(x,y) 에 대해 zz 는 −2ax-\sqrt{2ax} 에서 +2ax+\sqrt{2ax} 까지 움직인다. 극좌표에서 이 원은 r2=2arcos⁡θr^2=2ar\cos\theta 또는 r=2acos⁡θr=2a\cos\theta 이다.

그림

이 입체는 y→−yy\rightarrow -y 와 z→−zz\rightarrow -z 에 대해 대칭이므로 y≥0y\ge 0, z≥0z\ge 0 인 부분만 생각하고 4를 곱하면 된다. 부피는

부피=4∫0π2dθ∫02acos⁡θdr r2arcos⁡θ=4∫0π2dθ 2acos⁡θ 25 r5/2∣02acos⁡θ=85∫0π2dθ (2acos⁡θ)3=645a3∫0π2dθ cos⁡θ(1−sin⁡2θ)=645a3∫01dt (1−t2) 여기서 t=sin⁡θ=645a3[t−t33]01=12815a3\begin{aligned} \text{부피} &=4\int_0^{\pi\over 2} \mathrm{d}\theta\int_0^{2a\cos\theta} \mathrm{d}r\ r\sqrt{2ar\cos\theta} \\ &=4\int_0^{\pi\over 2} \mathrm{d}\theta\ \sqrt{2a\cos\theta}\ \frac{2}{5}\ r^{5/2}\bigg|_0^{2a\cos\theta} \\ &=\frac{8}{5}\int_0^{\pi\over 2} \mathrm{d}\theta\ \big(2a\cos\theta\big)^3 =\frac{64}{5}a^3\int_0^{\pi\over 2} \mathrm{d}\theta\ \cos\theta\big(1-\sin^2\theta\big)\\ &=\frac{64}{5}a^3\int_0^1 dt\ \big(1-t^2\big) \qquad\text{ 여기서 $t=\sin\theta$}\\ &=\frac{64}{5}a^3\left[t-\frac{t^3}{3}\right]_0^1 =\frac{128}{15}a^3 \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

The figure below shows the top view of the specified solid. (x,y)(x,y) runs over the interior of the circle x2+y2=2axx^2+y^2=2ax. For each fixed (x,y)(x,y) in this disk, zz runs from −2ax-\sqrt{2ax} to +2ax+\sqrt{2ax}. In polar coordinates, the circle is r2=2arcos⁡θr^2=2ar\cos\theta or r=2acos⁡θr=2a\cos\theta.

figure

The solid is symmetric under y→−yy\rightarrow -y and z→−zz\rightarrow -z, so we can restrict to y≥0y\ge 0, z≥0z\ge 0 and multiply by 4. The volume is

Volume=4∫0π2dθ∫02acos⁡θdr r2arcos⁡θ=4∫0π2dθ 2acos⁡θ 25 r5/2∣02acos⁡θ=85∫0π2dθ (2acos⁡θ)3=645a3∫0π2dθ cos⁡θ(1−sin⁡2θ)=645a3∫01dt (1−t2) where t=sin⁡θ=645a3[t−t33]01=12815a3\begin{aligned} \text{Volume} &=4\int_0^{\pi\over 2} \mathrm{d}\theta\int_0^{2a\cos\theta} \mathrm{d}r\ r\sqrt{2ar\cos\theta} \\ &=4\int_0^{\pi\over 2} \mathrm{d}\theta\ \sqrt{2a\cos\theta}\ \frac{2}{5}\ r^{5/2}\bigg|_0^{2a\cos\theta} \\ &=\frac{8}{5}\int_0^{\pi\over 2} \mathrm{d}\theta\ \big(2a\cos\theta\big)^3 =\frac{64}{5}a^3\int_0^{\pi\over 2} \mathrm{d}\theta\ \cos\theta\big(1-\sin^2\theta\big)\\ &=\frac{64}{5}a^3\int_0^1 dt\ \big(1-t^2\big) \qquad\text{ where $t=\sin\theta$}\\ &=\frac{64}{5}a^3\left[t-\frac{t^3}{3}\right]_0^1 =\frac{128}{15}a^3 \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 3.2절 · 11번우리말 번역

부등식 x2+y2≤2yx^2 + y^2 \le 2y 와 0≤z≤x2+y20 \le z \le \sqrt{x^2 + y^2} 으로 주어진 3차원 영역 EE 를 생각하세요.

(a) 3차원에서 EE 의 그림을 꽤 정확하게 그리세요. 좌표축에 단위를 반드시 나타내세요. (b) 극좌표를 사용하여 EE 의 부피를 구하세요. 이 문제를 원기둥좌표로 풀면 "극좌표를 사용"하는 것임에 유의하세요.

힌트: ∫sin⁡nu du=−1nsin⁡n−1u cos⁡u+n−1n∫sin⁡n−2u du\int \sin^n u\ \mathrm{d}u =-\frac{1}{n}\sin^{n-1}u\ \cos u +\frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2}u\ \mathrm{d}u

다 풀었으면 정답 확인

(a)

  • 식 x2+y2≤2yx^2 + y^2 \le 2y 는 식 x2+(y−1)2=1x^2 + (y-1)^2=1 과 같은 영역을 나타내며, 이 식은 z=z0z=z_0 인 단면이 x=0x=0, y=1y=1, z=z0z=z_0 를 중심으로 하는 반지름이 11 인 수평 원인 원기둥의 방정식이다. 이 원기둥 중 제1팔분공간에 있는 부분을 아래 왼쪽 그림에 나타냈다.
  • z≤x2+y2z \le \sqrt{x^2 + y^2} 은 꼭짓점이 (0,0,0)(0,0,0) 이고 축이 양의 zz축이며, 높이 z=2z=2 에서의 반지름이 22 인 원뿔의 방정식이다. 이 원뿔 중 제1팔분공간에 있는 부분을 아래 오른쪽 그림에 나타냈다.

그림

그림

영역 EE 는 원기둥 중에서 (z≥0z\ge 0 이므로) xyxy평면 위에 있고 (z≤x2+y2z\le\sqrt{x^2+y^2} 이므로) 원뿔 바깥에 있는 부분이다. EE 중 제1팔분공간에 있는 부분을 아래 그림에 빨간색으로 윤곽을 그려 나타냈다. x2+y2≤2yx^2 + y^2 \le 2y 와 0≤z≤x2+y20 \le z \le \sqrt{x^2 + y^2} 은 모두 x→−xx\rightarrow -x 에 대해 변하지 않는다. 따라서 EE 도 x→−xx\rightarrow -x 에 대해 변하지 않는다. 즉, EE 는 yzyz평면에 대해 대칭이며, x≤0x\le 0, y≥0y\ge 0, z≥0z\ge 0 인 팔분공간에 EE 의 제1팔분공간 부분의 거울상을 포함한다.

그림

(b) 극좌표에서 x2+y2≤2yx^2 + y^2 \le 2y 는 다음과 같이 된다.

r2≤2rsin⁡θ  ⟺  r≤2sin⁡θr^2\le 2r\sin\theta \iff r\le 2\sin\theta

EE 중 제1팔분공간에 있는 부분의 밑면 영역(즉, 위 그림에서 색칠한 영역)을 DD 라 하자. DD 를 xyxy평면의 일부로 생각한다. 극좌표에서 DD 위에서는

  • θ\theta 는 00 에서 π2\frac{\pi}{2} 까지 변한다. (DD 가 제1사분면에 포함됨을 떠올리세요.)
  • 그 범위의 각 θ\theta 에 대해 rr 은 00 에서 2sin⁡θ2\sin\theta 까지 변한다.

왜냐하면

  • 극좌표에서 dA=r dr dθ\mathrm{d}A = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta 이고,
  • DD 의 각 점 (x,y)(x,y) 위에서 EE 의 높이는 x2+y2\sqrt{x^2+y^2}, 곧 극좌표로 rr 이며,
  • EE 의 부피는 EE 중 제1팔분공간에 있는 부분의 부피의 두 배이기 때문이다.

따라서 다음을 얻는다.

부피(E)=2∫0π2dθ∫02sin⁡θdr r2=163∫0π2dθ sin⁡3θ=163∫0π2dθ sin⁡θ (1−cos⁡2θ)=−163∫10du (1−u2)여기서 u=cos⁡θ, du=−sin⁡θ dθ=163[1−13]=329\begin{aligned} \text{부피}(E) &= 2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\mathrm{d}\theta \int_0^{2\sin\theta}\mathrm{d}r\ r^2 \\ &=\frac{16}{3} \int_0^{\frac{\pi}{2}}\mathrm{d}\theta\ \sin^3\theta =\frac{16}{3} \int_0^{\frac{\pi}{2}}\mathrm{d}\theta\ \sin\theta\ \big(1-\cos^2\theta\big) \\ &=-\frac{16}{3} \int_1^0\mathrm{d}u\ \big(1-u^2\big)\qquad \text{여기서 }u=\cos\theta,\ \mathrm{d}u=-\sin\theta\ \mathrm{d}\theta \\ &=\frac{16}{3}\left[1-\frac{1}{3}\right] \\ &=\frac{32}{9} \end{aligned}

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