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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다중적분

극좌표 이중적분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 3.2절 · 9번대학 수준우리말 번역

a>0a>0 이라 하자. 원기둥 x2+(y−a)2=a2x^2+(y-a)^2=a^2 의 안쪽에 있고 원뿔 z2=x2+y2z^2=x^2+y^2 의 위쪽 절반과 아래쪽 절반 사이에 있는 부분의 부피를 구하세요.

영어 원문 보기

Let a>0a>0. Find the volume lying inside the cylinder x2+(y−a)2=a2x^2+(y-a)^2=a^2 and between the upper and lower halves of the cone z2=x2+y2z^2=x^2+y^2.

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정답·풀이 보기

이 영역에서 xx 와 yy 는 원기둥 x2+(y−a)2=a2x^2+(y-a)^2=a^2 의 내부 전체를 움직인다. 원기둥 안의 각 (x,y)(x,y) 에 대해 zz 는 −x2+y2-\sqrt{x^2+y^2} 에서 x2+y2\sqrt{x^2+y^2} 까지 움직인다. x2+(y−a)2=a2x^2+(y-a)^2=a^2 은 x2+y2−2ay=0x^2+y^2-2ay=0 일 필요충분조건이므로, 원기둥의 방정식은 극좌표에서 r2=2arsin⁡θr^2=2ar\sin\theta, 곧 r=2asin⁡θr=2a\sin\theta 이다.

그림

따라서 (r,θ)(r,\theta) 는 0≤θ≤π, 0≤r≤2asin⁡θ0\le\theta\le\pi,\ 0\le r\le 2a\sin\theta 를 움직이고, 이 영역의 각 (r,θ)(r,\theta) 에 대해 zz 는 −r-r 에서 rr 까지 움직인다. x→−xx\rightarrow -x 에 대한 대칭성에 의해 부피는

Volume=2∫0π2dθ∫02asin⁡θdr r[r−(−r)]=4∫0π2dθ∫02asin⁡θdr r2=43∫0π2 ⁣ ⁣dθ (2asin⁡θ)3=323a3∫0π2 ⁣ ⁣dθ sin⁡θ(1−cos⁡2θ)=−323a3∫10dt (1−t2) 여기서 t=cos⁡θ =−323a3[t−t33]10=649a3\begin{aligned} \text{Volume} &=2\int_0^{{\pi\over 2}}\mathrm{d}\theta\int_0^{2a\sin\theta}\mathrm{d}r\ r\big[r-(-r)\big] =4\int_0^{{\pi\over 2}}\mathrm{d}\theta\int_0^{2a\sin\theta}\mathrm{d}r\ r^2 =\frac{4}{3}\int_0^{{\pi\over 2}}\!\!\mathrm{d}\theta\ (2a\sin\theta)^3 \\ &=\frac{32}{3}a^3\int_0^{{\pi\over 2}}\!\!\mathrm{d}\theta\ \sin\theta(1-\cos^2\theta) =-\frac{32}{3}a^3\int_1^0 dt\ (1-t^2)\text{ 여기서 $t=\cos\theta$ }\\ &=-\frac{32}{3}a^3\left[t-\frac{t^3}{3}\right]_1^0 =\frac{64}{9}a^3 \end{aligned}

이다.

원본 교재 풀이(영어)

For this region xx and yy run over the interior of the cylinder x2+(y−a)2=a2x^2+(y-a)^2=a^2. For each (x,y)(x,y) inside the cylinder, zz runs from −x2+y2-\sqrt{x^2+y^2} to x2+y2\sqrt{x^2+y^2}. As x2+(y−a)2=a2x^2+(y-a)^2=a^2 if and only if x2+y2−2ay=0x^2+y^2-2ay=0, the cylinder has equation r2=2arsin⁡θr^2=2ar\sin\theta, or equivalently, r=2asin⁡θr=2a\sin\theta, in polar coordinates.

figure

Thus (r,θ)(r,\theta) runs over 0≤θ≤π, 0≤r≤2asin⁡θ0\le\theta\le\pi,\ 0\le r\le 2a\sin\theta and for each (r,θ)(r,\theta) in this region zz runs from −r-r to rr. By symmetry under x→−xx\rightarrow -x, the volume is

Volume=2∫0π2dθ∫02asin⁡θdr r[r−(−r)]=4∫0π2dθ∫02asin⁡θdr r2=43∫0π2 ⁣ ⁣dθ (2asin⁡θ)3=323a3∫0π2 ⁣ ⁣dθ sin⁡θ(1−cos⁡2θ)=−323a3∫10dt (1−t2) where t=cos⁡θ =−323a3[t−t33]10=649a3\begin{aligned} \text{Volume} &=2\int_0^{{\pi\over 2}}\mathrm{d}\theta\int_0^{2a\sin\theta}\mathrm{d}r\ r\big[r-(-r)\big] =4\int_0^{{\pi\over 2}}\mathrm{d}\theta\int_0^{2a\sin\theta}\mathrm{d}r\ r^2 =\frac{4}{3}\int_0^{{\pi\over 2}}\!\!\mathrm{d}\theta\ (2a\sin\theta)^3 \\ &=\frac{32}{3}a^3\int_0^{{\pi\over 2}}\!\!\mathrm{d}\theta\ \sin\theta(1-\cos^2\theta) =-\frac{32}{3}a^3\int_1^0 dt\ (1-t^2)\text{ where $t=\cos\theta$ }\\ &=-\frac{32}{3}a^3\left[t-\frac{t^3}{3}\right]_1^0 =\frac{64}{9}a^3 \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 3.2절 · 8번우리말 번역

구 x2+y2+z2=2x^2+y^2+z^2=2 의 안쪽에 있고 포물면 z=x2+y2z=x^2+y^2 의 위쪽에 있는 부분의 부피를 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

위쪽 곡면 x2+y2+z2=2x^2+y^2+z^2=2 와 아래쪽 곡면 z=x2+y2z=x^2+y^2 은 zz 가 x2+y2=z=2−z2x^2+y^2=z=2-z^2 을 만족할 때 만난다. 즉 0=z2+z−2=(z−1)(z+2)0=z^2+z-2=(z-1)(z+2) 일 때이다. 근 z=−2z=-2 는 z=x2+y2≥0z=x^2+y^2\ge 0 과 모순이다. 따라서 위쪽 곡면과 아래쪽 곡면은 원 z=1z=1, x2+y2=1x^2+y^2=1 에서 만난다.

극좌표에서 위쪽 곡면은 z2=2−r2z^2=2-r^2, 곧 z=2−r2z=\sqrt{2-r^2} 이고, 아래쪽 곡면은 z=r2z=r^2 이다. 따라서 극좌표가 (r,θ)(r,\theta) 인 점 위쪽에 있는 입체의 높이는 2−r2−r2\sqrt{2-r^2}-r^2 이므로

Volume=∫01dr∫02πdθ r [2−r2−r2]=2π∫01dr r [2−r2−r2]=2π[−13(2−r2)3/2−r44]01=2π[−13−14+1323/2]=π[432−76]≈2.26\begin{aligned} \text{Volume}&=\int_0^1\mathrm{d}r\int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta\ r\,\big[\sqrt{2-r^2}-r^2\big] =2\pi \int_0^1\mathrm{d}r\ r\,\big[\sqrt{2-r^2}-r^2\big]\\ &=2\pi \left[-\frac{1}{3}{(2-r^2)}^{3/2}-\frac{r^4}{4}\right]_0^1 =2\pi \left[-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}2^{3/2}\right] \\ &=\pi \left[\frac{4}{3}\sqrt{2}-\frac{7}{6}\right] \approx 2.26 \end{aligned}

직교좌표에서는

Volume=4∫01dx∫01−x2dy [2−x2−y2−x2−y2]\begin{aligned} \text{Volume}&=4\int_0^1\mathrm{d}x\int_0^{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{d}y\ \big[\sqrt{2-x^2-y^2}-x^2-y^2\big] \end{aligned}

이다.

yy 에 대한 적분은 치환 y=2−x2cos⁡ty=\sqrt{2-x^2}\cos t 를 써서 계산할 수 있지만, 극좌표를 쓰는 편이 더 쉽다.

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