극좌표 이중적분 연습문제 — CLP-3 · 3.2절 · 11번

CLP-3 · 3.2절 · 11번대학 수준우리말 번역

부등식 $x^2 + y^2 \le 2y$ 와 $0 \le z \le \sqrt{x^2 + y^2}$ 으로 주어진 3차원 영역 $E$ 를 생각하세요.

(a) 3차원에서 $E$ 의 그림을 꽤 정확하게 그리세요. 좌표축에 단위를 반드시 나타내세요. (b) 극좌표를 사용하여 $E$ 의 부피를 구하세요. 이 문제를 원기둥좌표로 풀면 "극좌표를 사용"하는 것임에 유의하세요.

힌트: $\int \sin^n u\ \mathrm{d}u =-\frac{1}{n}\sin^{n-1}u\ \cos u +\frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2}u\ \mathrm{d}u$

영어 원문 보기

Consider the region $E$ in 3–dimensions specified by the inequalities $x^2 + y^2 \le 2y$ and $0 \le z \le \sqrt{x^2 + y^2}$ .

(a) Draw a reasonably accurate picture of $E$ in 3–dimensions. Be sure to show the units on the coordinate axes. (b) Use polar coordinates to find the volume of $E$ . Note that you will be “using polar coordinates” if you solve this problem by means of cylindrical coordinates.

Hint: $\int \sin^n u\ \mathrm{d}u =-\frac{1}{n}\sin^{n-1}u\ \cos u +\frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2}u\ \mathrm{d}u$

정답·풀이 보기

(a)

식 $x^2 + y^2 \le 2y$ 는 식 $x^2 + (y-1)^2=1$ 과 같은 영역을 나타내며, 이 식은 $z=z_0$ 인 단면이 $x=0$ , $y=1$ , $z=z_0$ 를 중심으로 하는 반지름이 $1$ 인 수평 원인 원기둥의 방정식이다. 이 원기둥 중 제1팔분공간에 있는 부분을 아래 왼쪽 그림에 나타냈다.
$z \le \sqrt{x^2 + y^2}$ 은 꼭짓점이 $(0,0,0)$ 이고 축이 양의 $z$ 축이며, 높이 $z=2$ 에서의 반지름이 $2$ 인 원뿔의 방정식이다. 이 원뿔 중 제1팔분공간에 있는 부분을 아래 오른쪽 그림에 나타냈다.

영역 $E$ 는 원기둥 중에서 ( $z\ge 0$ 이므로) $xy$ 평면 위에 있고 ( $z\le\sqrt{x^2+y^2}$ 이므로) 원뿔 바깥에 있는 부분이다. $E$ 중 제1팔분공간에 있는 부분을 아래 그림에 빨간색으로 윤곽을 그려 나타냈다. $x^2 + y^2 \le 2y$ 와 $0 \le z \le \sqrt{x^2 + y^2}$ 은 모두 $x\rightarrow -x$ 에 대해 변하지 않는다. 따라서 $E$ 도 $x\rightarrow -x$ 에 대해 변하지 않는다. 즉, $E$ 는 $yz$ 평면에 대해 대칭이며, $x\le 0$ , $y\ge 0$ , $z\ge 0$ 인 팔분공간에 $E$ 의 제1팔분공간 부분의 거울상을 포함한다.

(b) 극좌표에서 $x^2 + y^2 \le 2y$ 는 다음과 같이 된다.

$r^2\le 2r\sin\theta \iff r\le 2\sin\theta$

$E$ 중 제1팔분공간에 있는 부분의 밑면 영역(즉, 위 그림에서 색칠한 영역)을 $D$ 라 하자. $D$ 를 $xy$ 평면의 일부로 생각한다. 극좌표에서 $D$ 위에서는

$\theta$ 는 $0$ 에서 $\frac{\pi}{2}$ 까지 변한다. ( $D$ 가 제1사분면에 포함됨을 떠올리세요.)
그 범위의 각 $\theta$ 에 대해 $r$ 은 $0$ 에서 $2\sin\theta$ 까지 변한다.

왜냐하면

극좌표에서 $\mathrm{d}A = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta$ 이고,
$D$ 의 각 점 $(x,y)$ 위에서 $E$ 의 높이는 $\sqrt{x^2+y^2}$ , 곧 극좌표로 $r$ 이며,
$E$ 의 부피는 $E$ 중 제1팔분공간에 있는 부분의 부피의 두 배이기 때문이다.

따라서 다음을 얻는다.

$\begin{aligned} \text{부피}(E) &= 2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\mathrm{d}\theta \int_0^{2\sin\theta}\mathrm{d}r\ r^2 \\ &=\frac{16}{3} \int_0^{\frac{\pi}{2}}\mathrm{d}\theta\ \sin^3\theta =\frac{16}{3} \int_0^{\frac{\pi}{2}}\mathrm{d}\theta\ \sin\theta\ \big(1-\cos^2\theta\big) \\ &=-\frac{16}{3} \int_1^0\mathrm{d}u\ \big(1-u^2\big)\qquad \text{여기서 }u=\cos\theta,\ \mathrm{d}u=-\sin\theta\ \mathrm{d}\theta \\ &=\frac{16}{3}\left[1-\frac{1}{3}\right] \\ &=\frac{32}{9} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

(a)

The equation $x^2 + y^2 \le 2y$ is equivalent to the equation $x^2 + (y-1)^2=1$ , which is the equation of the cylinder whose $z=z_0$ cross–section is the horizontal circle of radius $1$ , centred on $x=0$ , $y=1$ , $z=z_0$ . The part of this cylinder in the first octant is sketched in the figure on the left below.
$z \le \sqrt{x^2 + y^2}$ is the equation of the cone with vertex $(0,0,0)$ , and axis the positive $z$ –axis, whose radius at height $z=2$ is $2$ . The part of this cone in the first octant is sketched in the figure on the right below.

The region $E$ is the part of the cylinder that is above the $xy$ –plane (since $z\ge 0$ ) outside the cone (since $z\le\sqrt{x^2+y^2}$ ). The part of $E$ that is in the first octant is outlined in red in the figure below. Both $x^2 + y^2 \le 2y$ and $0 \le z \le \sqrt{x^2 + y^2}$ are invariant under $x\rightarrow -x$ . So $E$ is also invariant under $x\rightarrow -x$ . That is, $E$ is symmetric about the $yz$ –plane and contains, in the octant $x\le 0$ , $y\ge 0$ , $z\ge 0$ , a mirror image of the first octant part of $E$ .

(b) In polar coordinates, $x^2 + y^2 \le 2y$ becomes

$r^2\le 2r\sin\theta \iff r\le 2\sin\theta$

Let us denote by $D$ the base region of the part of $E$ in the first octant (i.e. the shaded region in the figure above). Think of $D$ as being part of the $xy$ –plane. In polar coordinates, on $D$

$\theta$ runs from $0$ to $\frac{\pi}{2}$ . (Recall that $D$ is contained in the first quadrant.)
For each $\theta$ in that range, $r$ runs from $0$ to $2\sin\theta$ .

Because

in polar coordinates $\mathrm{d}A = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta$ , and
the height of $E$ above each point $(x,y)$ in $D$ is $\sqrt{x^2+y^2}$ , or, in polar coordinates, $r$ , and
the volume of $E$ is twice the volume of the part of $E$ in the first octant,

we have

$\begin{aligned} \text{Volume}(E) &= 2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\mathrm{d}\theta \int_0^{2\sin\theta}\mathrm{d}r\ r^2 \\ &=\frac{16}{3} \int_0^{\frac{\pi}{2}}\mathrm{d}\theta\ \sin^3\theta =\frac{16}{3} \int_0^{\frac{\pi}{2}}\mathrm{d}\theta\ \sin\theta\ \big(1-\cos^2\theta\big) \\ &=-\frac{16}{3} \int_1^0\mathrm{d}u\ \big(1-u^2\big)\qquad \text{with }u=\cos\theta,\ \mathrm{d}u=-\sin\theta\ \mathrm{d}\theta \\ &=\frac{16}{3}\left[1-\frac{1}{3}\right] \\ &=\frac{32}{9} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 3.2절 · 12번우리말 번역

다음 반복 이중적분의 값을 구하세요.

$\int_{x=0}^{x=2}\int_{y=0}^{y=\sqrt{4-x^2}} {(x^2+y^2)}^{\frac{3}{2}}\ \mathrm{d}y\,\mathrm{d}x$

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

적분 영역에서

$x$ 는 $0$ 부터 $2$ 까지 변하고,
그 범위에서 고정된 각 $x$ 에 대해 $y$ 는 $0$ 부터 $\sqrt{4-x^2}$ 까지 변한다. 방정식 $y=\sqrt{4-x^2}$ 은 $x^2+y^2=4$ , $y\ge 0$ 과 같다.

이 영역은 아래 왼쪽 그림에 나타나 있다.

피적분함수 ${(x^2+y^2)}^{\frac{3}{2}}$ 은 원점을 중심으로 한 회전에 대해 변하지 않고,
바깥쪽 곡선 $x^2+y^2=4$ 도 원점을 중심으로 한 회전에 대해 변하지 않으므로

극좌표를 사용한다. 극좌표에서

바깥쪽 곡선 $x^2+y^2=4$ 는 $r=2$ 이고,
피적분함수 ${(x^2+y^2)}^{\frac{3}{2}}$ 은 $r^3$ 이며,
$\mathrm{d}A=r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta$ 이다.

위 오른쪽 그림을 보면, 주어진 적분을 극좌표로 나타내면 다음과 같음을 알 수 있다.

$\begin{aligned} \int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\int_0^2\mathrm{d}r\ r (r^3) &=\frac{\pi}{2}\ \frac{2^5}{5} =\frac{16\pi}{5} \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 극좌표 이중적분활용보통자동 분류