극좌표 이중적분 연습문제 — CLP-3 · 3.2절 · 12번

CLP-3 · 3.2절 · 12번대학 수준우리말 번역

다음 반복 이중적분의 값을 구하세요.

$\int_{x=0}^{x=2}\int_{y=0}^{y=\sqrt{4-x^2}} {(x^2+y^2)}^{\frac{3}{2}}\ \mathrm{d}y\,\mathrm{d}x$

영어 원문 보기

Evaluate the iterated double integral

$\int_{x=0}^{x=2}\int_{y=0}^{y=\sqrt{4-x^2}} {(x^2+y^2)}^{\frac{3}{2}}\ \mathrm{d}y\,\mathrm{d}x$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

적분 영역에서

$x$ 는 $0$ 부터 $2$ 까지 변하고,
그 범위에서 고정된 각 $x$ 에 대해 $y$ 는 $0$ 부터 $\sqrt{4-x^2}$ 까지 변한다. 방정식 $y=\sqrt{4-x^2}$ 은 $x^2+y^2=4$ , $y\ge 0$ 과 같다.

이 영역은 아래 왼쪽 그림에 나타나 있다.

피적분함수 ${(x^2+y^2)}^{\frac{3}{2}}$ 은 원점을 중심으로 한 회전에 대해 변하지 않고,
바깥쪽 곡선 $x^2+y^2=4$ 도 원점을 중심으로 한 회전에 대해 변하지 않으므로

극좌표를 사용한다. 극좌표에서

바깥쪽 곡선 $x^2+y^2=4$ 는 $r=2$ 이고,
피적분함수 ${(x^2+y^2)}^{\frac{3}{2}}$ 은 $r^3$ 이며,
$\mathrm{d}A=r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta$ 이다.

위 오른쪽 그림을 보면, 주어진 적분을 극좌표로 나타내면 다음과 같음을 알 수 있다.

$\begin{aligned} \int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\int_0^2\mathrm{d}r\ r (r^3) &=\frac{\pi}{2}\ \frac{2^5}{5} =\frac{16\pi}{5} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

On the domain of integration

$x$ runs for $0$ to $2$ , and
for each fixed $x$ in that range, $y$ runs from $0$ to $\sqrt{4-x^2}$ . The equation $y=\sqrt{4-x^2}$ is equivalent to $x^2+y^2=4$ , $y\ge 0$ .

This domain is sketched in the figure on the left below.

Considering that

the integrand, ${(x^2+y^2)}^{\frac{3}{2}}$ , is invariant under rotations about the origin and
the outer curve, $x^2+y^2=4$ , is invariant under rotations about the origin

we'll use polar coordinates. In polar coordinates,

the outer curve, $x^2+y^2=4$ , is $r=2$ , and
the integrand, ${(x^2+y^2)}^{\frac{3}{2}}$ is $r^3$ , and
$\mathrm{d}A=r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta$

Looking at the figure on the right above, we see that the given integral is, in polar coordinates,

$\begin{aligned} \int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\int_0^2\mathrm{d}r\ r (r^3) &=\frac{\pi}{2}\ \frac{2^5}{5} =\frac{16\pi}{5} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 3.2절 · 13번우리말 번역

(a) 경계 곡선이

$x^2 + y^2 = 2,\ x^2 + y^2 = 4,\ y = x,\ y = 0$

인 영역 $\mathcal{L}$ ( $xy$ –평면의 제1사분면에 있는 영역)을 그리세요.

영역 $\mathcal{L}$ 위에서 밀도 함수가 $\rho(x,y)$ 인 얇은 판의 질량은 다음과 같다.

$M =\iint _\mathcal{L} \rho(x,y)\,\mathrm{d}A$ (b) $M$ 을 극좌표계의 적분으로 나타낸 식을 구하세요. (c) 다음과 같을 때 M을 구하세요.

$\rho(x,y) = \frac{2xy}{x^2+y^2}$

다 풀었으면 정답 확인

(a) 영역 $\mathcal{L}$ 은 아래 왼쪽 그림과 같다.

(b) 극좌표계에서

원 $x^2+y^2=2$ 는 $r^2=2$ 또는 $r=\sqrt{2}$ 이고,
원 $x^2+y^2=4$ 는 $r^2=4$ 또는 $r=2$ 이고,
직선 $y=x$ 는 $r\sin\theta = r\cos\theta$ , 즉 $\tan\theta =1$ , 또는 (제1사분면에 있는 부분은) $\theta=\frac{\pi}{4}$ 이고,
양의 $x$ –축 ( $y=0$ , $x\ge 0$ )은 $\theta=0$ 이다.

위 오른쪽 그림을 보면, $\mathcal{L}$ 에서

$\theta$ 는 $0$ 부터 $\frac{\pi}{4}$ 까지 변하고,
그 범위의 각 고정된 $\theta$ 에 대해 $r$ 는 $\sqrt{2}$ 부터 $2$ 까지 변한다.
$\mathrm{d}A$ 는 $r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta$ 이다.

따라서

$\begin{aligned} M = \int_0^{\pi/4}\mathrm{d}\theta\int_{\sqrt{2}}^2\mathrm{d}r\ r\, \rho(r\cos\theta\,,\,r\sin\theta) \end{aligned}$

이다.

(c)

$\begin{aligned} \rho = \frac{2xy}{x^2+y^2} = \frac{2r^2\cos\theta\,\sin\theta}{r^2} =\sin(2\theta) \end{aligned}$

일 때

$\begin{aligned} M &= \int_0^{\pi/4}\mathrm{d}\theta\int_{\sqrt{2}}^2\mathrm{d}r\ r\, \sin(2\theta) \\ &=\left[\int_0^{\pi/4}\sin(2\theta)\ \mathrm{d}\theta\right] \left[\int_{\sqrt{2}}^2 r\ \mathrm{d}r\right] \\ &=\left[-\frac{1}{2}\cos(2\theta)\right]_0^{\pi/4} \left[ \frac{r^2}{2}\right]_{\sqrt{2}}^2 =\frac{1}{2}\ \frac{4-2}{2} \\ &=\frac{1}{2} \end{aligned}$

이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 극좌표 이중적분계산보통자동 분류