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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다중적분

극좌표 이중적분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 3.2절 · 15번대학 수준우리말 번역

영역 D={ (x,y) ∣ x2+y2≤2, 0≤y≤x }D =\big\{ \ (x,y)\ \big|\ x^2+y^2\le 2,\ 0\le y\le x\ \big\} 에서 다음 이중적분의 값을 구하세요.

∬Dyx2+y2 dA\iint _D y\sqrt{x^2+y^2}\,\mathrm{d}A

영어 원문 보기

Evaluate the double integral

∬Dyx2+y2 dA\iint _D y\sqrt{x^2+y^2}\,\mathrm{d}A

over the region D={ (x,y) ∣ x2+y2≤2, 0≤y≤x }D =\big\{ \ (x,y)\ \big|\ x^2+y^2\le 2,\ 0\le y\le x\ \big\}.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

극좌표로 바꾸자. 극좌표에서 원 x2+y2=2x^2+y^2=2 는 r=2r=\sqrt{2} 이고 직선 y=xy=x 는 θ=π4\theta=\frac{\pi}{4} 이다.

그림

극좌표에서 dA=r dr dθ\mathrm{d}A = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta 이므로 적분은

∬Dyx2+y2 dA=∫0π/4dθ∫02dr r rsin⁡θ⏞y r⏞x2+y2=∫0π/4dθ sin⁡θ [r44]02=[−cos⁡θ]0π/4=1−12\begin{aligned} \iint _D y\sqrt{x^2+y^2}\,\mathrm{d}A &=\int_0^{\pi/4}\mathrm{d}\theta\int_0^{\sqrt{2}}\mathrm{d}r\ r\ \overbrace{r\sin\theta}^{y}\ \overbrace{r}^{\sqrt{x^2+y^2}} \\ &=\int_0^{\pi/4}\mathrm{d}\theta\ \sin\theta\ \left[\frac{r^4}{4}\right]_0^{\sqrt{2}} \\ &=\Big[-\cos\theta\Big]_0^{\pi/4} \\ &= 1-\frac{1}{\sqrt{2}} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

Let's switch to polar coordinates. In polar coordinates, the circle x2+y2=2x^2+y^2=2 is r=2r=\sqrt{2} and the line y=xy=x is θ=π4\theta=\frac{\pi}{4}.

figure

In polar coordinates dA=r dr dθ\mathrm{d}A = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta, so the integral

∬Dyx2+y2 dA=∫0π/4dθ∫02dr r rsin⁡θ⏞y r⏞x2+y2=∫0π/4dθ sin⁡θ [r44]02=[−cos⁡θ]0π/4=1−12\begin{aligned} \iint _D y\sqrt{x^2+y^2}\,\mathrm{d}A &=\int_0^{\pi/4}\mathrm{d}\theta\int_0^{\sqrt{2}}\mathrm{d}r\ r\ \overbrace{r\sin\theta}^{y}\ \overbrace{r}^{\sqrt{x^2+y^2}} \\ &=\int_0^{\pi/4}\mathrm{d}\theta\ \sin\theta\ \left[\frac{r^4}{4}\right]_0^{\sqrt{2}} \\ &=\Big[-\cos\theta\Big]_0^{\pi/4} \\ &= 1-\frac{1}{\sqrt{2}} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 3.2절 · 1번우리말 번역

다음 점들을 생각하세요.

(x1,y1)=(3,0)(x2,y2)=(1,1)(x3,y3)=(0,1)(x4,y4)=(−1,1)(x5,y5)=(−2,0)\begin{aligned} (x_1,y_1) &= (3,0) & (x_2,y_2) &= (1,1) & (x_3,y_3) &= (0,1) \\ (x_4,y_4) &= (-1,1) & (x_5,y_5) &= (-2,0) \end{aligned}

각 1≤i≤51\le i\le 5 에 대해,

  • xyxy평면에 점 (xi,yi)(x_i,y_i) 를 그리고
  • 점 (xi,yi)(x_i,y_i) 의 극좌표 rir_i 와 θi\theta_i 를 구하세요. 단, ri>0r_i>0 이고 0≤θi<2π0\le\theta_i<2\pi 이다.
다 풀었으면 정답 확인

아래 왼쪽 그림에는 좌표축 위에 있는 점 (x1,y1)(x_1,y_1), (x3,y3)(x_3,y_3), (x5,y5)(x_5,y_5) 가 있다. 아래 오른쪽 그림에는 좌표축 위에 있지 않은 점 (x2,y2)(x_2,y_2), (x4,y4)(x_4,y_4) 가 있다.

그림

그림

극좌표 rr, θ\theta 와 직교좌표 xx, yy 사이에는 x=rcos⁡θx=r\cos\theta, y=rsin⁡θy=r\sin\theta 인 관계가 있다. 따라서 r=x2+y2r=\sqrt{x^2+y^2} 이고 tan⁡θ=yx\tan\theta=\frac{y}{x} (x≠0x\ne 0 이고 r>0r>0 이라 가정)이며

(x1,y1)=(3,0)  ⟹  r1=3, tan⁡θ1=0  ⟹  θ1=0 (x1,y1) 은 양의 x축 위에 있으므로(x2,y2)=(1,1)  ⟹  r2=2, tan⁡θ2=1  ⟹  θ2=π4 (x2,y2) 는 제1팔분면에 있으므로(x3,y3)=(0,1)  ⟹  r3=1, cos⁡θ3=0  ⟹  θ3=π2 (x3,y3) 은 양의 y축 위에 있으므로(x4,y4)=(−1,1)  ⟹  r4=2, tan⁡θ4=−1  ⟹  θ4=3π4 (x4,y4) 는 제3팔분면에 있으므로(x5,y5)=(−2,0)  ⟹  r5=2, tan⁡θ5=0  ⟹  θ5=π (x5,y5) 는 음의 x축 위에 있으므로\begin{aligned} (x_1,y_1) &= (3,0) &&\implies &r_1=3,\ \tan\theta_1=0 &&\implies \theta_1&=0 \text{ $(x_1,y_1)$ 은 양의 $x$축 위에 있으므로} \\ (x_2,y_2) &= (1,1) &&\implies &r_2=\sqrt{2},\ \tan\theta_2=1 &&\implies \theta_2&=\frac{\pi}{4} \text{ $(x_2,y_2)$ 는 제1팔분면에 있으므로} \\ (x_3,y_3) &= (0,1) &&\implies &r_3=1,\ \cos\theta_3=0 &&\implies \theta_3&=\frac{\pi}{2} \text{ $(x_3,y_3)$ 은 양의 $y$축 위에 있으므로} \\ (x_4,y_4) &= (-1,1) &&\implies &r_4=\sqrt{2},\ \tan\theta_4=-1 &&\implies \theta_4&=\frac{3\pi}{4} \text{ $(x_4,y_4)$ 는 제3팔분면에 있으므로} \\ (x_5,y_5) &= (-2,0) &&\implies &r_5=2,\ \tan\theta_5=0 &&\implies \theta_5&=\pi \text{ $(x_5,y_5)$ 는 음의 $x$축 위에 있으므로} \end{aligned}

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