극좌표 이중적분 연습문제 — CLP-3 · 3.2절 · 17번

CLP-3 · 3.2절 · 17번대학 수준우리말 번역

$xy$ –평면에서 왼쪽은 직선 $x = 2$ 로, 오른쪽은 원 $x^2 + y^2 = 16$ 으로 둘러싸인 영역을 $D$ 라 하자. 다음 값을 구하세요.

$\iint _D\big(x^2+y^2\big)^{-3/2}\ \mathrm{d}A$

영어 원문 보기

Let $D$ be the region in the $xy$ –plane bounded on the left by the line $x = 2$ and on the right by the circle $x^2 + y^2 = 16$ . Evaluate

$\iint _D\big(x^2+y^2\big)^{-3/2}\ \mathrm{d}A$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

다음은 $D$ 의 그림이다.

극좌표를 사용한다. 극좌표에서 원 $x^2+y^2=16$ 은 $r=4$ 이고 직선 $x=2$ 는 $r\cos\theta =2$ 이다. 따라서

$\begin{aligned} D = \left\{(r\cos\theta\,,\,r\sin\theta)\ \left|\ -\frac{\pi}{3}\le\theta\le\frac{\pi}{3},\ \frac{2}{\cos\theta}\le r\le 4\ \right.\right\} \end{aligned}$

이고, $\mathrm{d}A = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta$ 이므로 주어진 적분은 다음과 같다.

$\begin{aligned} \iint _D\big(x^2+y^2\big)^{-3/2}\ \mathrm{d}A &= \int_{-\pi/3}^{\pi/3} \mathrm{d}\theta\int_{2/\cos\theta}^4\mathrm{d}r\ r\frac{1}{r^3} \\ &= \int_{-\pi/3}^{\pi/3} \mathrm{d}\theta\ \left[-\frac{1}{r}\right]_{2/\cos\theta}^4 \\ &= \int_{-\pi/3}^{\pi/3} \mathrm{d}\theta\ \left[\frac{\cos\theta}{2}-\frac{1}{4}\right] \\ &= \left[\frac{\sin\theta}{2}-\frac{\theta}{4}\right]_{-\pi/3}^{\pi/3} \\ &=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi}{6} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Here is a sketch of $D$ .

We'll use polar coordinates. In polar coordinates the circle $x^2+y^2=16$ is $r=4$ and the line $x=2$ is $r\cos\theta =2$ . So

$\begin{aligned} D = \left\{(r\cos\theta\,,\,r\sin\theta)\ \left|\ -\frac{\pi}{3}\le\theta\le\frac{\pi}{3},\ \frac{2}{\cos\theta}\le r\le 4\ \right.\right\} \end{aligned}$

and, as $\mathrm{d}A = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta$ , the specified integral is

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 3.2절 · 6번우리말 번역

다음 각 극좌표 적분에 대하여 적분 영역을 $xy$ -평면에 그리세요.

(a) $\displaystyle \int_1^2\mathrm{d}r \int_{-{\pi}/{4}}^{{\pi}/{4}}\mathrm{d}\theta \ r\ f(r\cos\theta,r\sin\theta)$ (b) $\displaystyle \int_0^{{\pi}/{4}}\mathrm{d}\theta \int_0^{\frac{2}{\sin\theta+\cos\theta}}\mathrm{d}r \ r\ f(r\cos\theta,r\sin\theta)$ (c) $\displaystyle \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_0^{\frac{3}{\sqrt{\cos^2\theta+9\sin^2\theta}}}\mathrm{d}r \ r\ f(r\cos\theta,r\sin\theta)$

다 풀었으면 정답 확인

(a) 적분 영역을 $D$ 라 하자. 기호 $\displaystyle \int_1^2\mathrm{d}r \int_{-{\pi}/{4}}^{{\pi}/{4}}\mathrm{d}\theta$ 는 $D$ 에서 다음이 성립함을 나타낸다.

$r$ 는 $1$ 에서 $2$ 까지 변하고,
그 범위의 각 $r$ 에 대하여 $\theta$ 는 $-\frac{\pi}{4}$ 에서 $\frac{\pi}{4}$ 까지 변한다.

직교좌표로 나타내면

$r=1$ 은 원 $x^2+y^2=1$ 이고,
$r=2$ 는 원 $x^2+y^2=4$ 이고,
$\theta=\frac{\pi}{4}$ 는 반직선 $y=x$ , $x\ge 0$ 이고,
$\theta=-\frac{\pi}{4}$ 는 반직선 $y=-x$ , $x\ge 0$ 이다.

따라서

$\begin{aligned} D=\big\{ \ (x,y)\ \big|\ 1\le x^2+y^2\le 4,\ -x\le y\le x,\ x\ge 0\ \big\} \end{aligned}$

두 개의 그림이 있다. $D$ 는 오른쪽 그림에서 색칠한 영역이다.

(b) 적분 영역을 $D$ 라 하자. 기호 $\int_0^{{\pi}/{4}}\mathrm{d}\theta \int_0^{\frac{2}{\sin\theta+\cos\theta}}\mathrm{d}r$ 는 $D$ 에서 다음이 성립함을 나타낸다.

$\theta$ 는 $0$ 에서 ${\pi}/{4}$ 까지 변하고,
그 범위의 각 $\theta$ 에 대하여 $r$ 는 $0$ 에서 $\frac{2}{\sin\theta+\cos\theta}$ 까지 변한다.

직교좌표로 나타내면

$\theta=0$ 은 양의 $x$ 축이고,
$\theta={\pi}/{4}$ 는 반직선 $y=x$ , $x\ge 0$ 이고,
$r=\frac{2}{\sin\theta+\cos\theta}$ , 즉 $r\cos\theta+r\sin\theta=2$ 는 직선 $x+y=2$ 이다.

아래 왼쪽 그림을 보면, 직선 $y=x$ 와 $x+y=2$ 가 $(1,1)$ 에서 만나므로

$\begin{aligned} D=\big\{ \ (x,y)\ \big|\ 0\le y\le 1,\ y\le x\le 2-y\ \big\} \end{aligned}$

$D$ 는 오른쪽 그림에서 색칠한 영역이다.

(c) 적분 영역을 $D$ 라 하자. 기호 $\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_0^{\frac{3}{\sqrt{\cos^2\theta+9\sin^2\theta}}}\mathrm{d}r$ 는 $D$ 에서 다음이 성립함을 나타낸다.

$\theta$ 는 $0$ 에서 $2\pi$ 까지 한 바퀴 변하고,
각 $\theta$ 에 대하여 $r$ 는 $0$ 에서 $\frac{3}{\sqrt{\cos^2\theta+9\sin^2\theta}}$ 까지 변한다.

직교좌표로 나타내면

$r=\frac{3}{\sqrt{\cos^2\theta+9\sin^2\theta}}$ , 즉 $r^2\cos^2\theta+9r^2\sin^2\theta=9$ 는 타원 $x^2+9y^2=9$ 이다.

따라서 $D$ 는 타원 $x^2+9y^2=9$ 의 내부이고, $D$ 는 오른쪽 그림에서 색칠한 영역이다.

이 문제로 이어서 풀기

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