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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다중적분

극좌표 이중적분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 3.2절 · 18번대학 수준우리말 번역

xyxy–평면에서 원판 x2+y2≤2xx^2 + y^2 \le 2x 를 직선 y=xy = x 로 22 개의 조각으로 자른다. 그중 더 큰 조각을 DD 라 하자.

(a) 주어진 원판의 중심과 반지름을 정확하게 나타내어 DD 를 그리세요. 그런 다음 DD 를 극좌표 (r,θ)(r, \theta) 로 나타내세요. (b) z=x2+y2z = \sqrt{x^2 + y^2} 의 아래쪽, DD 의 위쪽에 있는 입체의 부피를 구하세요.

영어 원문 보기

In the xyxy–plane, the disk x2+y2≤2xx^2 + y^2 \le 2x is cut into 22 pieces by the line y=xy = x. Let DD be the larger piece.

(a) Sketch DD including an accurate description of the center and radius of the given disk. Then describe DD in polar coordinates (r,θ)(r, \theta). (b) Find the volume of the solid below z=x2+y2z = \sqrt{x^2 + y^2} and above DD.

정답·풀이 보기

(a) 부등식 x2+y2≤2xx^2 + y^2 \le 2x 는 (x−1)2+y2≤1(x-1)^2 + y^2 \le 1 과 같고, (x,y)(x,y) 가 (1,0)(1,0) 을 중심으로 하는 반지름 11 인 원판의 내부에 있음을 뜻한다. 그림은 다음과 같다.

그림

극좌표에서 x=rcos⁡θx=r\cos\theta, y=rsin⁡θy=r\sin\theta 이므로 직선 y=xy=x 는 θ=π4\theta=\frac{\pi}{4} 이고 원 x2+y2=2xx^2+y^2=2x 는

r2=2rcos⁡θ또는r=2cos⁡θr^2=2r\cos\theta \qquad\text{또는}\qquad r=2\cos\theta

이다. 따라서

D={ (rcos⁡θ , rsin⁡θ) ∣ −π/2≤θ≤π/4, 0≤r≤2cos⁡θ }D = \big\{ \ (r\cos\theta\,,\,r\sin\theta)\ \big|\ -{\pi}/{2}\le\theta\le{\pi}/{4},\ 0\le r\le 2\cos\theta\ \big\}

이다.

(b) 극좌표가 rr, θ\theta 인 DD 의 점 위쪽에서 입체의 높이는 z=rz=r 이다. 따라서

부피=∬Dr dA=∬Dr2 dr dθ=∫−π/2π/4dθ∫02cos⁡θdr r2=83∫−π/2π/4dθ cos⁡3θ=83∫−π/2π/4dθ cos⁡θ[1−sin⁡2θ]=83[sin⁡θ−sin⁡3θ3]−π/2π/4=83[(12−162)−(−1+13)]=40182+169\begin{aligned} \text{부피} &= \iint _D r\ \mathrm{d}A=\iint _D r^2\ \mathrm{d}r\, \mathrm{d}\theta =\int_{-\pi/2}^{\pi/4}\mathrm{d}\theta\int_0^{2\cos\theta} \mathrm{d}r\ r^2 \\ &= \frac{8}{3}\int_{-\pi/2}^{\pi/4}\mathrm{d}\theta\ \cos^3\theta = \frac{8}{3}\int_{-\pi/2}^{\pi/4}\mathrm{d}\theta\ \cos\theta\big[1-\sin^2\theta\big] \\ &=\frac{8}{3} \left[\sin\theta -\frac{\sin^3\theta}{3}\right]_{-\pi/2}^{\pi/4}\\ &=\frac{8}{3}\left[\left(\frac{1}{\sqrt{2}} -\frac{1}{6\sqrt{2}}\right) -\left(-1 + \frac{1}{3}\right) \right] \\ &=\frac{40}{18\sqrt{2}} +\frac{16}{9} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

(a) The inequality x2+y2≤2xx^2 + y^2 \le 2x is equivalent to (x−1)2+y2≤1(x-1)^2 + y^2 \le 1 and says that (x,y)(x,y) is to be inside the disk of radius 11 centred on (1,0)(1,0). Here is a sketch.

figure

In polar coordinates, x=rcos⁡θx=r\cos\theta, y=rsin⁡θy=r\sin\theta so that the line y=xy=x is θ=π4\theta=\frac{\pi}{4} and the circle x2+y2=2xx^2+y^2=2x is

r2=2rcos⁡θorr=2cos⁡θr^2=2r\cos\theta \qquad\text{or}\qquad r=2\cos\theta

Consequently

D={ (rcos⁡θ , rsin⁡θ) ∣ −π/2≤θ≤π/4, 0≤r≤2cos⁡θ }D = \big\{ \ (r\cos\theta\,,\,r\sin\theta)\ \big|\ -{\pi}/{2}\le\theta\le{\pi}/{4},\ 0\le r\le 2\cos\theta\ \big\}

(b) The solid has height z=rz=r above the point in DD with polar coordinates rr, θ\theta. So the

Volume=∬Dr dA=∬Dr2 dr dθ=∫−π/2π/4dθ∫02cos⁡θdr r2=83∫−π/2π/4dθ cos⁡3θ=83∫−π/2π/4dθ cos⁡θ[1−sin⁡2θ]=83[sin⁡θ−sin⁡3θ3]−π/2π/4=83[(12−162)−(−1+13)]=40182+169\begin{aligned} \text{Volume} &= \iint _D r\ \mathrm{d}A=\iint _D r^2\ \mathrm{d}r\, \mathrm{d}\theta =\int_{-\pi/2}^{\pi/4}\mathrm{d}\theta\int_0^{2\cos\theta} \mathrm{d}r\ r^2 \\ &= \frac{8}{3}\int_{-\pi/2}^{\pi/4}\mathrm{d}\theta\ \cos^3\theta = \frac{8}{3}\int_{-\pi/2}^{\pi/4}\mathrm{d}\theta\ \cos\theta\big[1-\sin^2\theta\big] \\ &=\frac{8}{3} \left[\sin\theta -\frac{\sin^3\theta}{3}\right]_{-\pi/2}^{\pi/4}\\ &=\frac{8}{3}\left[\left(\frac{1}{\sqrt{2}} -\frac{1}{6\sqrt{2}}\right) -\left(-1 + \frac{1}{3}\right) \right] \\ &=\frac{40}{18\sqrt{2}} +\frac{16}{9} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 3.2절 · 19번우리말 번역

DD 를 그림에서 색칠한 영역이라 하자. DD 에 속한 점들의 원점으로부터의 평균 거리를 구하세요. 모든 자연수 n≥2n\ge 2 에 대해 ∫cos⁡n(x) dx=cos⁡n−1(x)sin⁡(x)n+n−1n∫cos⁡n−2(x) dx\int\cos^n(x)\,dx = \frac{\cos^{n-1}(x)\sin(x)}{n} +\frac{n-1}{n}\int\cos^{n-2}(x)\,dx 임을 이용해도 됩니다.

그림

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극좌표를 사용한다. DD 에서

  • θ\theta 는 00 부터 π2\frac{\pi}{2} 까지 변하고,
  • 00 과 π2\frac{\pi}{2} 사이의 각 고정된 θ\theta 에 대해 rr 는 11 부터 1+cos⁡(θ)1+\cos(\theta) 까지 변한다.

따라서 DD 의 넓이는

area=A=∫0π/2dθ∫11+cos⁡θdr r=∫0π/2dθ 12r2∣11+cos⁡θ=∫0π/2dθ [12cos⁡2θ+cos⁡θ]\text{area}=A=\int_0^{\pi/2} \mathrm{d}\theta\int_1^{1+\cos\theta} \mathrm{d}r\ r =\int_0^{\pi/2} \mathrm{d}\theta\ \frac{1}{2} r^2\bigg|_1^{1+\cos\theta} =\int_0^{\pi/2} \mathrm{d}\theta\ \left[\frac{1}{2} \cos^2\theta+\cos\theta\right]

이다.

구하려는 것은 DD 위에서 rr 의 평균값이며, 이는

ave dist=1A∫0π/2dθ∫11+cos⁡θdr r2=1A∫0π/2dθ 13r3∣11+cos⁡θ=1A∫0π/2dθ [13cos⁡3θ+cos⁡2θ+cos⁡θ]\begin{aligned} \text{ave\ dist}&=\frac{1}{A}\int_0^{\pi/2} \mathrm{d}\theta\int_1^{1+\cos\theta} \mathrm{d}r\ r^2 =\frac{1}{A}\int_0^{\pi/2} \mathrm{d}\theta\ \frac{1}{3} r^3\bigg|_1^{1+\cos\theta} \\ &=\frac{1}{A}\int_0^{\pi/2} \mathrm{d}\theta\ \left[\frac{1}{3} \cos^3\theta +\cos^2\theta+\cos\theta\right] \end{aligned}

이다.

이제 코사인의 여러 거듭제곱의 적분을 계산한다.

∫0π/2cos⁡θ dθ=sin⁡θ ∣0π/2=1∫0π/2cos⁡2θ dθ=cos⁡θsin⁡θ2 ∣0π/2+12∫0π/2dθ=π4∫0π/2cos⁡3θ dθ=cos⁡2θsin⁡θ3 ∣0π/2+23∫0π/2cos⁡θ dθ=23\begin{aligned} \int_0^{\pi/2}\cos\theta\ \mathrm{d}\theta&=\sin\theta\,\bigg|_0^{\pi/2}=1 \\ \int_0^{\pi/2}\cos^2\theta\ \mathrm{d}\theta&=\frac{\cos\theta\sin\theta}{2}\,\bigg|_0^{\pi/2} +\frac{1}{2}\int _0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta=\frac{\pi}{4}\\ \int_0^{\pi/2}\cos^3\theta\ \mathrm{d}\theta&=\frac{\cos^2\theta\sin\theta}{3}\,\bigg|_0^{\pi/2} +\frac{2}{3}\int _0^{\pi/2}\cos\theta\ \mathrm{d}\theta=\frac{2}{3}\\ \end{aligned}

따라서 A=π8+1A=\frac{\pi}{8}+1 이고

ave dist=8π+8[29+π4+1]=2π+44/9π+8≈1.442\begin{aligned} \text{ave\ dist}=\frac{8}{\pi+8}\left[\frac{2}{9}+\frac{\pi}{4}+1\right] =2\frac{\pi+44/9}{\pi+8}\approx 1.442 \end{aligned}

이다.

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