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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다중적분

극좌표 이중적분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 3.2절 · 19번대학 수준우리말 번역

DD 를 그림에서 색칠한 영역이라 하자. DD 에 속한 점들의 원점으로부터의 평균 거리를 구하세요. 모든 자연수 n≥2n\ge 2 에 대해 ∫cos⁡n(x) dx=cos⁡n−1(x)sin⁡(x)n+n−1n∫cos⁡n−2(x) dx\int\cos^n(x)\,dx = \frac{\cos^{n-1}(x)\sin(x)}{n} +\frac{n-1}{n}\int\cos^{n-2}(x)\,dx 임을 이용해도 됩니다.

그림

영어 원문 보기

Let DD be the shaded region in the diagram. Find the average distance of points in DD from the origin. You may use that ∫cos⁡n(x) dx=cos⁡n−1(x)sin⁡(x)n+n−1n∫cos⁡n−2(x) dx\int\cos^n(x)\,dx = \frac{\cos^{n-1}(x)\sin(x)}{n} +\frac{n-1}{n}\int\cos^{n-2}(x)\,dx for all natural numbers n≥2n\ge 2.

figure

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극좌표를 사용한다. DD 에서

  • θ\theta 는 00 부터 π2\frac{\pi}{2} 까지 변하고,
  • 00 과 π2\frac{\pi}{2} 사이의 각 고정된 θ\theta 에 대해 rr 는 11 부터 1+cos⁡(θ)1+\cos(\theta) 까지 변한다.

따라서 DD 의 넓이는

area=A=∫0π/2dθ∫11+cos⁡θdr r=∫0π/2dθ 12r2∣11+cos⁡θ=∫0π/2dθ [12cos⁡2θ+cos⁡θ]\text{area}=A=\int_0^{\pi/2} \mathrm{d}\theta\int_1^{1+\cos\theta} \mathrm{d}r\ r =\int_0^{\pi/2} \mathrm{d}\theta\ \frac{1}{2} r^2\bigg|_1^{1+\cos\theta} =\int_0^{\pi/2} \mathrm{d}\theta\ \left[\frac{1}{2} \cos^2\theta+\cos\theta\right]

이다.

구하려는 것은 DD 위에서 rr 의 평균값이며, 이는

ave dist=1A∫0π/2dθ∫11+cos⁡θdr r2=1A∫0π/2dθ 13r3∣11+cos⁡θ=1A∫0π/2dθ [13cos⁡3θ+cos⁡2θ+cos⁡θ]\begin{aligned} \text{ave\ dist}&=\frac{1}{A}\int_0^{\pi/2} \mathrm{d}\theta\int_1^{1+\cos\theta} \mathrm{d}r\ r^2 =\frac{1}{A}\int_0^{\pi/2} \mathrm{d}\theta\ \frac{1}{3} r^3\bigg|_1^{1+\cos\theta} \\ &=\frac{1}{A}\int_0^{\pi/2} \mathrm{d}\theta\ \left[\frac{1}{3} \cos^3\theta +\cos^2\theta+\cos\theta\right] \end{aligned}

이다.

이제 코사인의 여러 거듭제곱의 적분을 계산한다.

∫0π/2cos⁡θ dθ=sin⁡θ ∣0π/2=1∫0π/2cos⁡2θ dθ=cos⁡θsin⁡θ2 ∣0π/2+12∫0π/2dθ=π4∫0π/2cos⁡3θ dθ=cos⁡2θsin⁡θ3 ∣0π/2+23∫0π/2cos⁡θ dθ=23\begin{aligned} \int_0^{\pi/2}\cos\theta\ \mathrm{d}\theta&=\sin\theta\,\bigg|_0^{\pi/2}=1 \\ \int_0^{\pi/2}\cos^2\theta\ \mathrm{d}\theta&=\frac{\cos\theta\sin\theta}{2}\,\bigg|_0^{\pi/2} +\frac{1}{2}\int _0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta=\frac{\pi}{4}\\ \int_0^{\pi/2}\cos^3\theta\ \mathrm{d}\theta&=\frac{\cos^2\theta\sin\theta}{3}\,\bigg|_0^{\pi/2} +\frac{2}{3}\int _0^{\pi/2}\cos\theta\ \mathrm{d}\theta=\frac{2}{3}\\ \end{aligned}

따라서 A=π8+1A=\frac{\pi}{8}+1 이고

ave dist=8π+8[29+π4+1]=2π+44/9π+8≈1.442\begin{aligned} \text{ave\ dist}=\frac{8}{\pi+8}\left[\frac{2}{9}+\frac{\pi}{4}+1\right] =2\frac{\pi+44/9}{\pi+8}\approx 1.442 \end{aligned}

이다.

원본 교재 풀이(영어)

We'll use polar coordinates. In DD

  • θ\theta runs from 00 to π2\frac{\pi}{2} and
  • for each fixed θ\theta between 00 and π2\frac{\pi}{2}, rr runs from 11 to 1+cos⁡(θ)1+\cos(\theta).

So the area of DD is

area=A=∫0π/2dθ∫11+cos⁡θdr r=∫0π/2dθ 12r2∣11+cos⁡θ=∫0π/2dθ [12cos⁡2θ+cos⁡θ]\text{area}=A=\int_0^{\pi/2} \mathrm{d}\theta\int_1^{1+\cos\theta} \mathrm{d}r\ r =\int_0^{\pi/2} \mathrm{d}\theta\ \frac{1}{2} r^2\bigg|_1^{1+\cos\theta} =\int_0^{\pi/2} \mathrm{d}\theta\ \left[\frac{1}{2} \cos^2\theta+\cos\theta\right]

We are interested in the average value of rr on DD, which is

ave dist=1A∫0π/2dθ∫11+cos⁡θdr r2=1A∫0π/2dθ 13r3∣11+cos⁡θ=1A∫0π/2dθ [13cos⁡3θ+cos⁡2θ+cos⁡θ]\begin{aligned} \text{ave\ dist}&=\frac{1}{A}\int_0^{\pi/2} \mathrm{d}\theta\int_1^{1+\cos\theta} \mathrm{d}r\ r^2 =\frac{1}{A}\int_0^{\pi/2} \mathrm{d}\theta\ \frac{1}{3} r^3\bigg|_1^{1+\cos\theta} \\ &=\frac{1}{A}\int_0^{\pi/2} \mathrm{d}\theta\ \left[\frac{1}{3} \cos^3\theta +\cos^2\theta+\cos\theta\right] \end{aligned}

Now we evaluate the integrals of the various powers of cosine.

∫0π/2cos⁡θ dθ=sin⁡θ ∣0π/2=1∫0π/2cos⁡2θ dθ=cos⁡θsin⁡θ2 ∣0π/2+12∫0π/2dθ=π4∫0π/2cos⁡3θ dθ=cos⁡2θsin⁡θ3 ∣0π/2+23∫0π/2cos⁡θ dθ=23\begin{aligned} \int_0^{\pi/2}\cos\theta\ \mathrm{d}\theta&=\sin\theta\,\bigg|_0^{\pi/2}=1 \\ \int_0^{\pi/2}\cos^2\theta\ \mathrm{d}\theta&=\frac{\cos\theta\sin\theta}{2}\,\bigg|_0^{\pi/2} +\frac{1}{2}\int _0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta=\frac{\pi}{4}\\ \int_0^{\pi/2}\cos^3\theta\ \mathrm{d}\theta&=\frac{\cos^2\theta\sin\theta}{3}\,\bigg|_0^{\pi/2} +\frac{2}{3}\int _0^{\pi/2}\cos\theta\ \mathrm{d}\theta=\frac{2}{3}\\ \end{aligned}

So A=π8+1A=\frac{\pi}{8}+1 and

ave dist=8π+8[29+π4+1]=2π+44/9π+8≈1.442\begin{aligned} \text{ave\ dist}=\frac{8}{\pi+8}\left[\frac{2}{9}+\frac{\pi}{4}+1\right] =2\frac{\pi+44/9}{\pi+8}\approx 1.442 \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 3.2절 · 9번우리말 번역

a>0a>0 이라 하자. 원기둥 x2+(y−a)2=a2x^2+(y-a)^2=a^2 의 안쪽에 있고 원뿔 z2=x2+y2z^2=x^2+y^2 의 위쪽 절반과 아래쪽 절반 사이에 있는 부분의 부피를 구하세요.

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이 영역에서 xx 와 yy 는 원기둥 x2+(y−a)2=a2x^2+(y-a)^2=a^2 의 내부 전체를 움직인다. 원기둥 안의 각 (x,y)(x,y) 에 대해 zz 는 −x2+y2-\sqrt{x^2+y^2} 에서 x2+y2\sqrt{x^2+y^2} 까지 움직인다. x2+(y−a)2=a2x^2+(y-a)^2=a^2 은 x2+y2−2ay=0x^2+y^2-2ay=0 일 필요충분조건이므로, 원기둥의 방정식은 극좌표에서 r2=2arsin⁡θr^2=2ar\sin\theta, 곧 r=2asin⁡θr=2a\sin\theta 이다.

그림

따라서 (r,θ)(r,\theta) 는 0≤θ≤π, 0≤r≤2asin⁡θ0\le\theta\le\pi,\ 0\le r\le 2a\sin\theta 를 움직이고, 이 영역의 각 (r,θ)(r,\theta) 에 대해 zz 는 −r-r 에서 rr 까지 움직인다. x→−xx\rightarrow -x 에 대한 대칭성에 의해 부피는

Volume=2∫0π2dθ∫02asin⁡θdr r[r−(−r)]=4∫0π2dθ∫02asin⁡θdr r2=43∫0π2 ⁣ ⁣dθ (2asin⁡θ)3=323a3∫0π2 ⁣ ⁣dθ sin⁡θ(1−cos⁡2θ)=−323a3∫10dt (1−t2) 여기서 t=cos⁡θ =−323a3[t−t33]10=649a3\begin{aligned} \text{Volume} &=2\int_0^{{\pi\over 2}}\mathrm{d}\theta\int_0^{2a\sin\theta}\mathrm{d}r\ r\big[r-(-r)\big] =4\int_0^{{\pi\over 2}}\mathrm{d}\theta\int_0^{2a\sin\theta}\mathrm{d}r\ r^2 =\frac{4}{3}\int_0^{{\pi\over 2}}\!\!\mathrm{d}\theta\ (2a\sin\theta)^3 \\ &=\frac{32}{3}a^3\int_0^{{\pi\over 2}}\!\!\mathrm{d}\theta\ \sin\theta(1-\cos^2\theta) =-\frac{32}{3}a^3\int_1^0 dt\ (1-t^2)\text{ 여기서 $t=\cos\theta$ }\\ &=-\frac{32}{3}a^3\left[t-\frac{t^3}{3}\right]_1^0 =\frac{64}{9}a^3 \end{aligned}

이다.

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