극좌표 이중적분 연습문제 — CLP-3 · 3.2절 · 20번

CLP-3 · 3.2절 · 20번대학 수준우리말 번역

$G$ 를 다음과 같이 주어진 $\mathbb{R}^2$ 의 영역이라 하자.

$\begin{gathered} x^2 + y^2 \le 1 \\ 0 \le x \le 2y \\ y \le 2x \end{gathered}$

(a) 영역 $G$ 의 그래프를 그리세요. (b) 적분 $\iint _G f(x,y)\ \mathrm{d}A$ 를 반복적분 $\iint f(x, y)\ \mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 의 합으로 나타내세요. (c) 적분 $\iint _G f(x,y)\ \mathrm{d}A$ 를 $x = r \cos(\theta)$ , $y = r \sin(\theta)$ 인 극좌표 $(r, \theta)$ 에서의 반복적분으로 나타내세요.

영어 원문 보기

Let $G$ be the region in $\mathbb{R}^2$ given by

$\begin{gathered} x^2 + y^2 \le 1 \\ 0 \le x \le 2y \\ y \le 2x \end{gathered}$

(a) Sketch the region $G$ . (b) Express the integral $\iint _G f(x,y)\ \mathrm{d}A$ a sum of iterated integrals $\iint f(x, y)\ \mathrm{d}x\mathrm{d}y$ . (c) Express the integral $\iint _G f(x,y)\ \mathrm{d}A$ as an iterated integral in polar coordinates $(r, \theta)$ where $x = r \cos(\theta)$ and $y = r \sin(\theta)$ .

정답·풀이 보기

(a) 다음에 주목한다.

조건 $x^2+y^2\le 1$ 은 $G$ 를 원점을 중심으로 하는 반지름이 $1$ 인 원의 내부로 제한한다.
조건 $0\le x\le 2y$ 는 $G$ 를 $x\ge 0$ , $y\ge 0$ 인 부분, 즉 제1사분면으로 제한한다.
조건 $x\le 2y$ 와 $y\le 2x$ 는 $\frac{x}{2}\le y\le 2x$ 로 제한한다. 따라서 $G$ 는 (가파른) 직선 $y=2x$ 의 아래쪽에 있고, (가파르지 않은) 직선 $y=\frac{x}{2}$ 의 위쪽에 있다.

다음은 $G$ 의 그래프이다.

(b) 직선 $y=2x$ 는 원 $x^2+y^2=1$ 과 다음을 만족하는 점 $(x,y)$ 에서 만난다.

$\begin{aligned} x^2+(2x)^2=x^2+y^2=1 \implies 5x^2=1 \end{aligned}$

또한 직선 $x=2y$ 는 원 $x^2+y^2=1$ 과 다음을 만족하는 점 $(x,y)$ 에서 만난다.

$\begin{aligned} (2y)^2+y^2=x^2+y^2=1 \implies 5y^2=1 \end{aligned}$

따라서 제1팔분면에서 $y=2x$ 와 $x^2+y^2=1$ 의 교점은 $\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\,,\,\frac{2}{\sqrt{5}}\right)$ 이고, 제1팔분면에서 $x=2y$ 와 $x^2+y^2=1$ 의 교점은 $\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\,,\,\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$ 이다.

다음 그림과 같이 가로 띠를 이용하여 반복적분을 세운다.

이 그림을 보면 $G$ 위에서

$y$ 는 $0$ 에서 $\frac{2}{\sqrt{5}}$ 까지 변하고,
$0$ 과 $\frac{1}{\sqrt{5}}$ 사이의 각 고정된 $y$ 에 대해 $x$ 는 $\frac{y}{2}$ 에서 $2y$ 까지 변하고,
$\frac{1}{\sqrt{5}}$ 과 $\frac{2}{\sqrt{5}}$ 사이의 각 고정된 $y$ 에 대해 $x$ 는 $\frac{y}{2}$ 에서 $\sqrt{1-y^2}$ 까지 변한다.

그러므로

$\begin{aligned} \iint _G f(x,y)\ \mathrm{d}A &=\int_0^{\frac{1}{\sqrt{5}}}\mathrm{d}y\int_{y/2}^{2y}\mathrm{d}x\ f(x,y) +\int_{\frac{1}{\sqrt{5}}}^{\frac{2}{\sqrt{5}}}\mathrm{d}y\int_{y/2}^{\sqrt{1-y^2}} \mathrm{d}x\ f(x,y) \end{aligned}$

(b) 극좌표에서

방정식 $x^2+y^2=1$ 은 $r=1$ 이 되고,
방정식 $y=x/2$ 는 $r\sin\theta = \frac{r}{2}\cos\theta$ , 즉 $\tan\theta =\frac{1}{2}$ 이 되고,
방정식 $y=2x$ 는 $r\sin\theta = 2r\cos\theta$ , 즉 $\tan\theta =2$ 가 된다.

다음 그림을 보면

$G$ 위에서

$\theta$ 는 $\arctan\frac{1}{2}$ 에서 $\arctan 2$ 까지 변하고,
그 범위의 각 고정된 $\theta$ 에 대해 $r$ 는 $0$ 에서 $1$ 까지 변한다.

$\mathrm{d}A=r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta$ 이고 $x=r\cos\theta$ , $y=r\sin\theta$ 이므로

$\begin{aligned} \iint _G f(x,y)\ \mathrm{d}A &=\int_{\arctan\frac{1}{2}}^{\arctan 2}\mathrm{d}\theta \int_0^1\mathrm{d}r\ r\,f(r\cos\theta,r\sin\theta) \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

(a) Observe that

the condition $x^2+y^2\le 1$ restricts $G$ to the interior of the circle of radius $1$ centred on the origin, and
the conditions $0\le x\le 2y$ restricts $G$ to $x\ge 0$ , $y\ge 0$ , i.e. to the first quadrant, and
the conditions $x\le 2y$ and $y\le 2x$ restrict $\frac{x}{2}\le y\le 2x$ . So $G$ lies below the (steep) line $y=2x$ and lies above the (not steep) line $y=\frac{x}{2}$ .

Here is a sketch of $G$

(b) Observe that the line $y=2x$ crosses the circle $x^2+y^2=1$ at a point $(x,y)$ obeying

$\begin{aligned} x^2+(2x)^2=x^2+y^2=1 \implies 5x^2=1 \end{aligned}$

and that the line $x=2y$ crosses the circle $x^2+y^2=1$ at a point $(x,y)$ obeying

$\begin{aligned} (2y)^2+y^2=x^2+y^2=1 \implies 5y^2=1 \end{aligned}$

So the intersection point of $y=2x$ and $x^2+y^2=1$ in the first octant is $\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\,,\,\frac{2}{\sqrt{5}}\right)$ and the intersection point of $x=2y$ and $x^2+y^2=1$ in the first octant is $\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\,,\,\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$ .

We'll set up the iterated integral using horizontal strips as in the sketch

Looking at that sketch, we see that, on $G$ ,

$y$ runs from $0$ to $\frac{2}{\sqrt{5}}$ , and
for each fixed $y$ between $0$ and $\frac{1}{\sqrt{5}}$ , $x$ runs from $\frac{y}{2}$ to $2y$ , and
for each fixed $y$ between $\frac{1}{\sqrt{5}}$ and $\frac{2}{\sqrt{5}}$ $x$ runs from $\frac{y}{2}$ to $\sqrt{1-y^2}$ .

(b) In polar coordinates

the equation $x^2+y^2=1$ becomes $r=1$ , and
the equation $y=x/2$ becomes $r\sin\theta = \frac{r}{2}\cos\theta$ or $\tan\theta =\frac{1}{2}$ , and
the equation $y=2x$ becomes $r\sin\theta = 2r\cos\theta$ or $\tan\theta =2$ .

Looking at the sketch

we see that, on $G$ ,

$\theta$ runs from $\arctan\frac{1}{2}$ to $\arctan 2$ , and
for each fixed $\theta$ in that range, $r$ runs from $0$ to $1$ .

As $\mathrm{d}A=r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta$ , and $x=r\cos\theta$ , $y=r\sin\theta$ ,

$\begin{aligned} \iint _G f(x,y)\ \mathrm{d}A &=\int_{\arctan\frac{1}{2}}^{\arctan 2}\mathrm{d}\theta \int_0^1\mathrm{d}r\ r\,f(r\cos\theta,r\sin\theta) \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 3.2절 · 23번우리말 번역

대칭인 커피 퍼컬레이터는 가득 채우면 24컵이 들어간다. 내부는 단면이 원형이며, 가운데에서 반지름이 3"이고 밑면과 윗면에서 반지름이 2"로 가늘어지는데, 밑면과 윗면 사이의 거리는 12"이다. 겉면은 포물선 모양이다. 6컵 수위를 나타내는 눈금은 어디에 표시해야 하는가?

다 풀었으면 정답 확인

$r(z)$ 를 항아리의 가운데로부터 높이 $z$ 에서의 반지름이라 하자. 항아리의 겉면이 포물선이므로 $r(z)$ 는 $z$ 에 대한 이차함수이어야 하고, $z=0$ 에서 $3$ , $z=\pm 6$ 에서 $2$ 의 값을 갖는다. 즉 $r(z)$ 는 $r(z)=az^2+bz+c$ 꼴이어야 한다. $r(0)=3$ 이라는 조건에서 $c=3$ 이다. $r(\pm 6)=2$ 라는 조건에서

$\begin{aligned} 6^2a + 6b + 3 &=2 \\ 6^2a - 6b + 3 &=2 \end{aligned}$

이므로 $b=0$ 이고 $6^2a=-1$ 이어서 $a=-\frac{1}{6^2}$ 이다. 따라서 $r(z)=3-\big(\frac{z}{6}\big)^2$ 이다.

항아리를 수평으로 얇게 자르면, 높이 $z$ 에서의 조각은 반지름이 $r(z)$ 이고 두께가 $\mathrm{d}z$ 인 원판이므로 부피는 $\pi r(z)^2\mathrm{d}z$ 이다. 높이 $z_0$ 까지의 부피는

$\begin{aligned} V(z) &=\int_{-6}^{z_0} \mathrm{d}z\ \pi r(z)^2 =\int_{-6}^{z_0} \mathrm{d}z\ \pi\left[3-\frac{z^2}{36}\right]^2 =\pi\left[9z-\frac{z^3}{18}+\frac{z^5}{5\times36^2}\right]_{-6}^{z_0}\\ \end{aligned}$

이다. 눈금은 6컵 수위에 있어야 하고 항아리에는 24컵이 들어가므로, 눈금은 부피 $V(z_0)$ 가 전체 부피 $V(6)$ 의 4분의 1이 되는 높이 $z_0$ 에 있어야 한다. 즉 $V(z_0)=\frac{1}{4} V(6)$ 이 되도록 $z_0$ 를 정해야 하므로

$\pi\left[9z-\frac{z^3}{18}+\frac{z^5}{5\times36^2}\right]_{-6}^{z_0} =\frac{\pi}{4}\left[9z-\frac{z^3}{18}+\frac{z^5}{5\times36^2}\right]_{-6}^{6} =\frac{\pi}{2}\left[9\times 6-\frac{6^3}{18}+\frac{6^5}{5\times36^2}\right]$

또는

$9z_0-\frac{z_0^3}{18}+\frac{z_0^5}{5\times36^2} =-\frac{1}{2}\left[9\times 6-\frac{6^3}{18}+\frac{6^5}{5\times36^2}\right] =-21.60$

이다. $\Big[9z_0-\frac{z_0^3}{18}+\frac{z_0^5}{6480}\Big]_{z_0=-2.495}=-21.61$ 이고 $\Big[9z_0-\frac{z_0^3}{18}+\frac{z_0^5}{6480}\Big]_{z_0=-2.490}=-21.57$ 이므로, 해는 $z_0=-2.49$ (소수 둘째 자리까지)이다. 눈금은 바닥에서 위로 약 3.5”에 표시해야 한다.

이 문제로 이어서 풀기

# 극좌표 이중적분그래프·표 해석도전자동 분류