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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다중적분

극좌표 이중적분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 3.2절 · 23번대학 수준우리말 번역

대칭인 커피 퍼컬레이터는 가득 채우면 24컵이 들어간다. 내부는 단면이 원형이며, 가운데에서 반지름이 3"이고 밑면과 윗면에서 반지름이 2"로 가늘어지는데, 밑면과 윗면 사이의 거리는 12"이다. 겉면은 포물선 모양이다. 6컵 수위를 나타내는 눈금은 어디에 표시해야 하는가?

그림

영어 원문 보기

A symmetrical coffee percolator holds 24 cups when full. The interior has a circular cross-section which tapers from a radius of 3" at the centre to 2" at the base and top, which are 12" apart. The bounding surface is parabolic. Where should the mark indicating the 6 cup level be placed?

figure

정답·풀이 보기

r(z)r(z) 를 항아리의 가운데로부터 높이 zz 에서의 반지름이라 하자. 항아리의 겉면이 포물선이므로 r(z)r(z) 는 zz 에 대한 이차함수이어야 하고, z=0z=0 에서 33, z=±6z=\pm 6 에서 22 의 값을 갖는다. 즉 r(z)r(z) 는 r(z)=az2+bz+cr(z)=az^2+bz+c 꼴이어야 한다. r(0)=3r(0)=3 이라는 조건에서 c=3c=3 이다. r(±6)=2r(\pm 6)=2 라는 조건에서

62a+6b+3=262a−6b+3=2\begin{aligned} 6^2a + 6b + 3 &=2 \\ 6^2a - 6b + 3 &=2 \end{aligned}

이므로 b=0b=0 이고 62a=−16^2a=-1 이어서 a=−162a=-\frac{1}{6^2} 이다. 따라서 r(z)=3−(z6)2r(z)=3-\big(\frac{z}{6}\big)^2 이다.

항아리를 수평으로 얇게 자르면, 높이 zz 에서의 조각은 반지름이 r(z)r(z) 이고 두께가 dz\mathrm{d}z 인 원판이므로 부피는 πr(z)2dz\pi r(z)^2\mathrm{d}z 이다. 높이 z0z_0 까지의 부피는

V(z)=∫−6z0dz πr(z)2=∫−6z0dz π[3−z236]2=π[9z−z318+z55×362]−6z0\begin{aligned} V(z) &=\int_{-6}^{z_0} \mathrm{d}z\ \pi r(z)^2 =\int_{-6}^{z_0} \mathrm{d}z\ \pi\left[3-\frac{z^2}{36}\right]^2 =\pi\left[9z-\frac{z^3}{18}+\frac{z^5}{5\times36^2}\right]_{-6}^{z_0}\\ \end{aligned}

이다. 눈금은 6컵 수위에 있어야 하고 항아리에는 24컵이 들어가므로, 눈금은 부피 V(z0)V(z_0) 가 전체 부피 V(6)V(6) 의 4분의 1이 되는 높이 z0z_0 에 있어야 한다. 즉 V(z0)=14V(6)V(z_0)=\frac{1}{4} V(6) 이 되도록 z0z_0 를 정해야 하므로

π[9z−z318+z55×362]−6z0=π4[9z−z318+z55×362]−66=π2[9×6−6318+655×362]\pi\left[9z-\frac{z^3}{18}+\frac{z^5}{5\times36^2}\right]_{-6}^{z_0} =\frac{\pi}{4}\left[9z-\frac{z^3}{18}+\frac{z^5}{5\times36^2}\right]_{-6}^{6} =\frac{\pi}{2}\left[9\times 6-\frac{6^3}{18}+\frac{6^5}{5\times36^2}\right]

또는

9z0−z0318+z055×362=−12[9×6−6318+655×362]=−21.609z_0-\frac{z_0^3}{18}+\frac{z_0^5}{5\times36^2} =-\frac{1}{2}\left[9\times 6-\frac{6^3}{18}+\frac{6^5}{5\times36^2}\right] =-21.60

이다. [9z0−z0318+z056480]z0=−2.495=−21.61\Big[9z_0-\frac{z_0^3}{18}+\frac{z_0^5}{6480}\Big]_{z_0=-2.495}=-21.61 이고 [9z0−z0318+z056480]z0=−2.490=−21.57\Big[9z_0-\frac{z_0^3}{18}+\frac{z_0^5}{6480}\Big]_{z_0=-2.490}=-21.57 이므로, 해는 z0=−2.49z_0=-2.49 (소수 둘째 자리까지)이다. 눈금은 바닥에서 위로 약 3.5”에 표시해야 한다.

원본 교재 풀이(영어)

Let r(z)r(z) be the radius of the urn at height zz above its middle. Because the bounding surface of the urn is parabolic, r(z)r(z) must be a quadratic function of zz that varies between 33 at z=0z=0 and 22 at z=±6z=\pm 6. That is, r(z)r(z) must be of the form r(z)=az2+bz+cr(z)=az^2+bz+c. The condition that r(0)=3r(0)=3 tells us that c=3c=3. The conditions that r(±6)=2r(\pm 6)=2 tells us that

62a+6b+3=262a−6b+3=2\begin{aligned} 6^2a + 6b + 3 &=2 \\ 6^2a - 6b + 3 &=2 \end{aligned}

So b=0b=0 and 62a=−16^2a=-1 so that a=−162a=-\frac{1}{6^2}. All together r(z)=3−(z6)2r(z)=3-\big(\frac{z}{6}\big)^2.

Slice the urn into horzontal slices, with the slice at height zz a disk of radius r(z)r(z) and thickness dz\mathrm{d}z and hence of volume πr(z)2dz\pi r(z)^2\mathrm{d}z. The volume to height z0z_0 is

V(z)=∫−6z0dz πr(z)2=∫−6z0dz π[3−z236]2=π[9z−z318+z55×362]−6z0\begin{aligned} V(z) &=\int_{-6}^{z_0} \mathrm{d}z\ \pi r(z)^2 =\int_{-6}^{z_0} \mathrm{d}z\ \pi\left[3-\frac{z^2}{36}\right]^2 =\pi\left[9z-\frac{z^3}{18}+\frac{z^5}{5\times36^2}\right]_{-6}^{z_0}\\ \end{aligned}

We are told that the mark is to be at the 6 cup level and that the urn holds 24 cups. So the mark is to be at the height z0z_0 for which the volume, V(z0)V(z_0), is one quarter of the total volume, V(6)V(6). That is, we are to choose z0z_0 so that V(z0)=14V(6)V(z_0)=\frac{1}{4} V(6) or

π[9z−z318+z55×362]−6z0=π4[9z−z318+z55×362]−66=π2[9×6−6318+655×362]\pi\left[9z-\frac{z^3}{18}+\frac{z^5}{5\times36^2}\right]_{-6}^{z_0} =\frac{\pi}{4}\left[9z-\frac{z^3}{18}+\frac{z^5}{5\times36^2}\right]_{-6}^{6} =\frac{\pi}{2}\left[9\times 6-\frac{6^3}{18}+\frac{6^5}{5\times36^2}\right]

or

9z0−z0318+z055×362=−12[9×6−6318+655×362]=−21.609z_0-\frac{z_0^3}{18}+\frac{z_0^5}{5\times36^2} =-\frac{1}{2}\left[9\times 6-\frac{6^3}{18}+\frac{6^5}{5\times36^2}\right] =-21.60

Since [9z0−z0318+z056480]z0=−2.495=−21.61\Big[9z_0-\frac{z_0^3}{18}+\frac{z_0^5}{6480}\Big]_{z_0=-2.495}=-21.61 and [9z0−z0318+z056480]z0=−2.490=−21.57\Big[9z_0-\frac{z_0^3}{18}+\frac{z_0^5}{6480}\Big]_{z_0=-2.490}=-21.57, there is a solution z0=−2.49z_0=-2.49 (to two decimal places). The mark should be about 3.5” above the bottom.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 3.2절 · 22번우리말 번역

제1팔분면에서 포물면 z=1−x2a2−y2b2z=1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} 아래에 있는 영역의 부피를 구하세요.

답 쓰고 채점
다 풀었으면 정답 확인

포물면은 xyxy–평면과 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2}=1 에서 만난다.

부피=∫0adx∫0b1−x2a2dy (1−x2a2−y2b2)=b∫0adx∫01−x2a2dv (1−x2a2−v2) 여기서 y=bv\begin{aligned} \text{부피} &=\int_0^a \mathrm{d}x\int_0^{b\sqrt{1-{x^2\over a^2}}} \mathrm{d}y\ \left(1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\right) \\ &=b\int_0^a \mathrm{d}x\int_0^{\sqrt{1-{x^2\over a^2}}} \mathrm{d}v\ \left(1-\frac{x^2}{a^2}-v^2\right) \qquad\text{ 여기서 $y=bv$}\\ \end{aligned}

이 적분을 다음 꼴로 생각한다.

b∫0adx g(x)여기서g(x)=∫01−x2a2dv (1−x2a2−v2)\displaystyle b\int_0^a \mathrm{d}x\ g(x)\quad \text{여기서}\quad \displaystyle g(x)=\int_0^{\sqrt{1-{x^2\over a^2}}} \mathrm{d}v\ \left(1-\frac{x^2}{a^2}-v^2\right)

x=aux=au 로 치환하면,

부피=ab∫01du∫01−u2dv (1−u2−v2)=ab∬u2+v2≤1u,v≥0dudv (1−u2−v2)\begin{aligned} \text{부피} &=ab\int_0^1 \mathrm{d}u\int_0^{\sqrt{1-u^2}} \mathrm{d}v\ \big(1-u^2-v^2\big) \\ &=ab\iint _{u^2+v^2\le 1\atop u,v\ge 0} \mathrm{d}u \mathrm{d}v\ \big(1-u^2-v^2\big) \end{aligned}

이제 u=rcos⁡θu=r\cos\theta, v=rsin⁡θv=r\sin\theta 를 이용하여 극좌표로 바꾼다.

부피=ab∫01dr∫0π2dθ r(1−r2)=ab π2 [r22−r44]01=π8ab\begin{aligned} \text{부피} &=ab\int_0^1 \mathrm{d}r\int_0^{\pi\over 2} \mathrm{d}\theta\ r\big(1-r^2\big) =ab\ \frac{\pi}{2}\ \left[\frac{r^2}{2}-\frac{r^4}{4}\right]_0^1 =\frac{\pi}{8}ab \end{aligned}

이 문제로 이어서 풀기
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