극좌표 이중적분 연습문제 — CLP-3 · 3.2절 · 22번

CLP-3 · 3.2절 · 22번대학 수준우리말 번역

제1팔분면에서 포물면 $z=1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$ 아래에 있는 영역의 부피를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the volume of the region in the first octant below the paraboloid $z=1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

포물면은 $xy$ –평면과 $\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2}=1$ 에서 만난다.

$\begin{aligned} \text{부피} &=\int_0^a \mathrm{d}x\int_0^{b\sqrt{1-{x^2\over a^2}}} \mathrm{d}y\ \left(1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\right) \\ &=b\int_0^a \mathrm{d}x\int_0^{\sqrt{1-{x^2\over a^2}}} \mathrm{d}v\ \left(1-\frac{x^2}{a^2}-v^2\right) \qquad\text{ 여기서 $y=bv$}\\ \end{aligned}$

이 적분을 다음 꼴로 생각한다.

$\displaystyle b\int_0^a \mathrm{d}x\ g(x)\quad \text{여기서}\quad \displaystyle g(x)=\int_0^{\sqrt{1-{x^2\over a^2}}} \mathrm{d}v\ \left(1-\frac{x^2}{a^2}-v^2\right)$

$x=au$ 로 치환하면,

$\begin{aligned} \text{부피} &=ab\int_0^1 \mathrm{d}u\int_0^{\sqrt{1-u^2}} \mathrm{d}v\ \big(1-u^2-v^2\big) \\ &=ab\iint _{u^2+v^2\le 1\atop u,v\ge 0} \mathrm{d}u \mathrm{d}v\ \big(1-u^2-v^2\big) \end{aligned}$

이제 $u=r\cos\theta$ , $v=r\sin\theta$ 를 이용하여 극좌표로 바꾼다.

$\begin{aligned} \text{부피} &=ab\int_0^1 \mathrm{d}r\int_0^{\pi\over 2} \mathrm{d}\theta\ r\big(1-r^2\big) =ab\ \frac{\pi}{2}\ \left[\frac{r^2}{2}-\frac{r^4}{4}\right]_0^1 =\frac{\pi}{8}ab \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The paraboloid hits the $xy$ –plane at $\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2}=1$ .

$\begin{aligned} \text{Volume} &=\int_0^a \mathrm{d}x\int_0^{b\sqrt{1-{x^2\over a^2}}} \mathrm{d}y\ \left(1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\right) \\ &=b\int_0^a \mathrm{d}x\int_0^{\sqrt{1-{x^2\over a^2}}} \mathrm{d}v\ \left(1-\frac{x^2}{a^2}-v^2\right) \qquad\text{ where $y=bv$}\\ \end{aligned}$

Think of this integral as being of the form

$\displaystyle b\int_0^a \mathrm{d}x\ g(x)\quad \text{with}\quad \displaystyle g(x)=\int_0^{\sqrt{1-{x^2\over a^2}}} \mathrm{d}v\ \left(1-\frac{x^2}{a^2}-v^2\right)$

Then, substituting $x=au$ ,

$\begin{aligned} \text{Volume} &=ab\int_0^1 \mathrm{d}u\int_0^{\sqrt{1-u^2}} \mathrm{d}v\ \big(1-u^2-v^2\big) \\ &=ab\iint _{u^2+v^2\le 1\atop u,v\ge 0} \mathrm{d}u \mathrm{d}v\ \big(1-u^2-v^2\big) \end{aligned}$

Now switch to polar coordinates using $u=r\cos\theta$ , $v=r\sin\theta$ .

$\begin{aligned} \text{Volume} &=ab\int_0^1 \mathrm{d}r\int_0^{\pi\over 2} \mathrm{d}\theta\ r\big(1-r^2\big) =ab\ \frac{\pi}{2}\ \left[\frac{r^2}{2}-\frac{r^4}{4}\right]_0^1 =\frac{\pi}{8}ab \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 3.2절 · 24번우리말 번역

곡면 $S$ 가 $z=e^{x^2+y^2}$ 로 주어져 있다고 하자.

(a) $xy$ 평면에서 원판 $x^2+y^2\le 9$ 의 위쪽, 곡면 $S$ 의 아래쪽에 있는 부피를 계산하세요. (b) $xy$ 평면의 어떤 영역 $R$ 의 위쪽, 곡면 $S$ 의 아래쪽에 있는 부피가 다음과 같습니다.

$\int_0^1\bigg(\int_0^y e^{x^2+y^2}\,\mathrm{d}x\bigg)\mathrm{d}y +\int_1^2\bigg(\int_0^{2-y} e^{x^2+y^2}\,\mathrm{d}x\bigg)\mathrm{d}y$

$R$ 을 그리고, 적분 순서를 바꾸어 이 부피를 하나의 반복적분으로 나타내세요. (b)에서는 두 적분 중 어느 것도 계산하지 마세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) 극좌표에서 밑면의 영역 $x^2+y^2\le 9$ 는 $r\le 3$ , $0\le\theta\le 2\pi$ 이다. 따라서

$\begin{aligned} \text{Volume} &=\iint _{x^2+y^2\le 9} e^{x^2+y^2}\ \mathrm{d}x\mathrm{d}y =\int_0^3 \mathrm{d}r\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\ r e^{r^2} =2\pi\int_0^3\mathrm{d}r\ r e^{r^2} =\pi e^{r^2}\Big|_0^3 \\ &=\pi\big(e^9-1\big)\approx 25,453 \end{aligned}$

(b) 두 적분의 정의역은 다음과 같다.

$\begin{aligned} \big\{ \ (x,y)\ \big|\ 0\le y\le 1,\ 0\le x\le y\ \big\}\qquad \big\{ \ (x,y)\ \big|\ 1\le y\le 2,\ 0\le x\le 2-y\ \big\} \end{aligned}$

이 두 정의역의 합집합(과 주어진 두 적분을 세울 때 사용한 가로 띠)을 아래 왼쪽 그림에 나타내었다.

적분 순서를 바꾸기 위해, 위 오른쪽 그림과 같이 세로 띠를 이용하여 정의역을 나눈다.

$x$ 는 $0$ 에서 $1$ 까지 변하고,
$0$ 과 $1$ 사이의 각 고정된 $x$ 에 대해 $y$ 는 $x$ 에서 $2-x$ 까지 변한다.

따라서

$\text{Volume}=\int_0^1 \mathrm{d}x\int_x^{2-x}\mathrm{d}y\ e^{x^2+y^2}$

이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 극좌표 이중적분활용도전자동 분류