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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다중적분

극좌표 이중적분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 3.2절 · 24번대학 수준우리말 번역

곡면 SS 가 z=ex2+y2z=e^{x^2+y^2} 로 주어져 있다고 하자.

(a) xyxy평면에서 원판 x2+y2≤9x^2+y^2\le 9 의 위쪽, 곡면 SS 의 아래쪽에 있는 부피를 계산하세요. (b) xyxy평면의 어떤 영역 RR 의 위쪽, 곡면 SS 의 아래쪽에 있는 부피가 다음과 같습니다.

∫01(∫0yex2+y2 dx)dy+∫12(∫02−yex2+y2 dx)dy\int_0^1\bigg(\int_0^y e^{x^2+y^2}\,\mathrm{d}x\bigg)\mathrm{d}y +\int_1^2\bigg(\int_0^{2-y} e^{x^2+y^2}\,\mathrm{d}x\bigg)\mathrm{d}y

RR 을 그리고, 적분 순서를 바꾸어 이 부피를 하나의 반복적분으로 나타내세요. (b)에서는 두 적분 중 어느 것도 계산하지 마세요.

영어 원문 보기

Consider the surface SS given by z=ex2+y2z=e^{x^2+y^2}.

(a) Compute the volume under SS and above the disk x2+y2≤9x^2+y^2\le 9 in the xyxy-plane. (b) The volume under SS and above a certain region RR in the xyxy-plane is

∫01(∫0yex2+y2 dx)dy+∫12(∫02−yex2+y2 dx)dy\int_0^1\bigg(\int_0^y e^{x^2+y^2}\,\mathrm{d}x\bigg)\mathrm{d}y +\int_1^2\bigg(\int_0^{2-y} e^{x^2+y^2}\,\mathrm{d}x\bigg)\mathrm{d}y

Sketch RR and express the volume as a single iterated integral with the order of integration reversed. Do not compute either integral in part (b).

정답·풀이 보기

(a) 극좌표에서 밑면의 영역 x2+y2≤9x^2+y^2\le 9 는 r≤3r\le 3, 0≤θ≤2π0\le\theta\le 2\pi 이다. 따라서

Volume=∬x2+y2≤9ex2+y2 dxdy=∫03dr∫02πdθ rer2=2π∫03dr rer2=πer2∣03=π(e9−1)≈25,453\begin{aligned} \text{Volume} &=\iint _{x^2+y^2\le 9} e^{x^2+y^2}\ \mathrm{d}x\mathrm{d}y =\int_0^3 \mathrm{d}r\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\ r e^{r^2} =2\pi\int_0^3\mathrm{d}r\ r e^{r^2} =\pi e^{r^2}\Big|_0^3 \\ &=\pi\big(e^9-1\big)\approx 25,453 \end{aligned}

(b) 두 적분의 정의역은 다음과 같다.

{ (x,y) ∣ 0≤y≤1, 0≤x≤y }{ (x,y) ∣ 1≤y≤2, 0≤x≤2−y }\begin{aligned} \big\{ \ (x,y)\ \big|\ 0\le y\le 1,\ 0\le x\le y\ \big\}\qquad \big\{ \ (x,y)\ \big|\ 1\le y\le 2,\ 0\le x\le 2-y\ \big\} \end{aligned}

이 두 정의역의 합집합(과 주어진 두 적분을 세울 때 사용한 가로 띠)을 아래 왼쪽 그림에 나타내었다.

그림

그림

적분 순서를 바꾸기 위해, 위 오른쪽 그림과 같이 세로 띠를 이용하여 정의역을 나눈다.

  • xx 는 00 에서 11 까지 변하고,
  • 00 과 11 사이의 각 고정된 xx 에 대해 yy 는 xx 에서 2−x2-x 까지 변한다.

따라서

Volume=∫01dx∫x2−xdy ex2+y2\text{Volume}=\int_0^1 \mathrm{d}x\int_x^{2-x}\mathrm{d}y\ e^{x^2+y^2}

이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) In polar coordinates, the base region x2+y2≤9x^2+y^2\le 9 is r≤3r\le 3, 0≤θ≤2π0\le\theta\le 2\pi. So the

Volume=∬x2+y2≤9ex2+y2 dxdy=∫03dr∫02πdθ rer2=2π∫03dr rer2=πer2∣03=π(e9−1)≈25,453\begin{aligned} \text{Volume} &=\iint _{x^2+y^2\le 9} e^{x^2+y^2}\ \mathrm{d}x\mathrm{d}y =\int_0^3 \mathrm{d}r\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\ r e^{r^2} =2\pi\int_0^3\mathrm{d}r\ r e^{r^2} =\pi e^{r^2}\Big|_0^3 \\ &=\pi\big(e^9-1\big)\approx 25,453 \end{aligned}

(b) The two integrals have domains

{ (x,y) ∣ 0≤y≤1, 0≤x≤y }{ (x,y) ∣ 1≤y≤2, 0≤x≤2−y }\begin{aligned} \big\{ \ (x,y)\ \big|\ 0\le y\le 1,\ 0\le x\le y\ \big\}\qquad \big\{ \ (x,y)\ \big|\ 1\le y\le 2,\ 0\le x\le 2-y\ \big\} \end{aligned}

The union of those two domains (as well as horizontal strips that were used in setting up the two given integrals) is sketched in the figure on the left below.

figure

figure

To reverse the order of integration, we decompose the domain using vertical strips as in the figure on the right above. As

  • xx runs from 00 to 11 and
  • for each fixed xx between 00 and 11, yy runs from xx to 2−x2-x.

we have that the

Volume=∫01dx∫x2−xdy ex2+y2\text{Volume}=\int_0^1 \mathrm{d}x\int_x^{2-x}\mathrm{d}y\ e^{x^2+y^2}

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 5.3절 · 32번우리말 번역

극축과 심장형 곡선 r=1+cos⁡ θr=1+\cos \,\theta 의 위쪽 절반으로 둘러싸인 영역 DD 의 넓이를 구하세요.

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3π4\frac{3\pi }{4}

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