다중적분의 응용(질량·질량중심) 연습문제 — CLP-3 · 3.3절 · 5번

CLP-3 · 3.3절 · 5번대학 수준우리말 번역

균일한 밀도 $k$ 를 갖는 얇은 판이 양의 $x$ 축, 양의 $y$ 축과 원 $x^2 + y^2 = 1$ 로 둘러싸여 있다. 이 판의 질량 중심을 구하세요.

영어 원문 보기

A thin plate of uniform density $k$ is bounded by the positive $x$ and $y$ axes and the circle $x^2 + y^2 = 1$ . Find its centre of mass.

정답·풀이 보기

이 판을 $P$ 라 하자. 정의에 따라 질량 중심은 $(\bar x, \bar y)$ 이고, $\bar x$ 와 $\bar y$ 는 각각 $P$ 위에서 $x$ 좌표와 $y$ 좌표의 가중평균이다. 즉,

$\begin{aligned} \bar x = \frac{\iint _P x\ \rho(x,y)\ \mathrm{d}A}{\iint _P \rho(x,y)\ \mathrm{d}A} \qquad \bar y = \frac{\iint _P y\ \rho(x,y)\ \mathrm{d}A}{\iint _P \rho(x,y)\ \mathrm{d}A} \end{aligned}$

이고 $\rho(x,y)=k$ 이다. 다음은 $P$ 의 그림이다.

직선 $y=x$ 에 대한 대칭이동에 의해 대칭이므로 $\bar y=\bar x$ 이다. 따라서 다음만 구하면 된다.

$\bar x = \frac{\iint _P x\ \mathrm{d}A}{\iint _P \mathrm{d}A}$

분모는 반지름이 $1$ 인 원판 넓이의 4분의 1이다. 즉, $\iint _P \mathrm{d}A=\frac{\pi}{4}$ 이다. 분자는 위 그림과 같이 극좌표를 이용하여 계산한다. 그림을 보면 다음과 같다.

$\theta$ 는 $0$ 부터 $\frac{\pi}{2}$ 까지 변하고,
그 범위의 각 고정된 $\theta$ 에 대해 $r$ 은 $0$ 부터 $1$ 까지 변한다.

$\mathrm{d}A=r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta$ 이고 $x=r\cos\theta$ 이므로 분자는

$\begin{aligned} \iint _P x\ \mathrm{d}A &=\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta \int_0^1\mathrm{d}r\ r\overbrace{r\cos\theta}^{x} =\left[\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\ \cos\theta\right] \left[ \int_0^1\mathrm{d}r\ r^2\right] \\ &=\Big[\sin\theta\Big]_0^{\pi/2} \left[\frac{r^3}{3}\right]_0^1 \\ &=\frac{1}{3} \end{aligned}$

이다. 종합하면

$\begin{aligned} \bar x = \bar y = \frac{1/3}{\pi/4} =\frac{4}{3\pi} \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

Call the plate $P$ . By definition, the centre of mass is $(\bar x, \bar y)$ , with $\bar x$ and $\bar y$ being the weighted averages of the $x$ and $y$ –coordinates, respectively, over $P$ . That is,

with $\rho(x,y)=k$ . Here is a sketch of $P$ .

By symmetry under reflection in the line $y=x$ , we have $\bar y=\bar x$ . So we just have to determine

$\bar x = \frac{\iint _P x\ \mathrm{d}A}{\iint _P \mathrm{d}A}$

The denominator is just one quarter of the area of circular disk of radius $1$ . That is, $\iint _P \mathrm{d}A=\frac{\pi}{4}$ . We'll evaluate the numerator using polar coordinates as in the figure above. Looking at that figure, we see that

$\theta$ runs from $0$ to $\frac{\pi}{2}$ , and
for each fixed $\theta$ in that range, $r$ runs from $0$ to $1$ .

As $\mathrm{d}A=r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta$ , and $x=r\cos\theta$ , the numerator

All together

$\begin{aligned} \bar x = \bar y = \frac{1/3}{\pi/4} =\frac{4}{3\pi} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 3.3절 · 2번우리말 번역

$xy$ –평면에서 부등식 $x^2 \le y \le 1$ 로 정의된 영역 $D$ 의 질량 중심을 구하세요. 단, 질량 밀도 함수는 $\rho(x,y) = y$ 이다.

다 풀었으면 정답 확인

다음은 $D$ 의 개형이다.

정의에 의해 질량 중심은 $(\bar x, \bar y)$ 이고, $\bar x$ 와 $\bar y$ 는 각각 $D$ 위에서 $x$ 좌표와 $y$ 좌표의 가중평균이다. 즉,

$\begin{aligned} \bar x = \frac{\iint _D x\ \rho(x,y)\ \mathrm{d}A}{\iint _D \rho(x,y)\ \mathrm{d}A} \qquad \bar y = \frac{\iint _D y\ \rho(x,y)\ \mathrm{d}A}{\iint _D \rho(x,y)\ \mathrm{d}A} \end{aligned}$

$y$ 축에 대한 대칭성에 의해 $\bar x=0$ 이다. 따라서 $\bar y$ 만 구하면 된다. 위 그림과 같이 세로 띠를 이용하여 적분을 계산한다. 그림을 보면 다음을 알 수 있다.

$x$ 는 $-1$ 에서 $1$ 까지 변하고,
그 범위의 각 고정된 $x$ 에 대해 $y$ 는 $x^2$ 에서 $1$ 까지 변한다.

따라서 분모는

$\begin{aligned} \iint _D \rho(x,y)\ \mathrm{d}A &= \int_{-1}^1\mathrm{d}x\int_{x^2}^1\mathrm{d}y\ \overbrace{y}^{\rho(x,y)} \\ &= \frac{1}{2}\int_{-1}^1 \mathrm{d}x\ (1-x^4) =\int_0^1 \mathrm{d}x\ (1-x^4) \\ &=\frac{4}{5} \end{aligned}$

이고, $\bar y$ 의 분자는

$\begin{aligned} \iint _D y\,\rho(x,y)\ \mathrm{d}A &= \int_{-1}^1\mathrm{d}x\int_{x^2}^1\mathrm{d}y\ y\overbrace{y}^{\rho(x,y)} \\ &= \frac{1}{3}\int_{-1}^1 \mathrm{d}x\ (1-x^6) =\frac{2}{3}\int_0^1 \mathrm{d}x\ (1-x^6) \\ &=\frac{2}{3}\ \frac{6}{7} = \frac{4}{7} \end{aligned}$

이다. 종합하면 $\bar x=0$ 이고

$\begin{aligned} \bar y = \frac{\frac{4}{7}} {\frac{4}{5}} = \frac{5}{7} \end{aligned}$

이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 다중적분의 응용(질량·질량중심)계산보통자동 분류