다중적분의 응용(질량·질량중심) 연습문제 — CLP-3 · 3.3절 · 8번

CLP-3 · 3.3절 · 8번대학 수준우리말 번역

금속판 하나가 있다. 이 판은 밀도가 상수 1이고 단위원판 $x^2 + y^2 \le 1$ 을 차지한다. 이 판에서 방정식 $x^2 + y^2 = x$ 로 정의되는 원의 내부를 제거하여 초승달 모양의 금속판을 얻는다.

(a) 이 초승달 모양 판의 전체 질량을 구하세요. (b) 이 판의 질량중심의 $x$ 좌표를 구하세요.

다음 사실을 이용해도 됩니다. $\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^4(\theta)\ \mathrm{d}\theta=\frac{3\pi}{8}$ .

영어 원문 보기

A metal crescent is obtained by removing the interior of the circle defined by the equation $x^2 + y^2 = x$ from the metal plate of constant density 1 occupying the unit disc $x^2 + y^2 \le 1$ .

(a) Find the total mass of the crescent. (b) Find the $x$ -coordinate of its center of mass.

You may use the fact that $\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^4(\theta)\ \mathrm{d}\theta=\frac{3\pi}{8}$ .

답 쓰고 채점

(a)

(b)

정답·풀이 보기

$x^2+y^2=x$ 는 $\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+y^2=\frac{1}{4}$ 과 같은 식이고, 이는 중심이 $\left(\frac{1}{2},0\right)$ 이고 반지름이 $\frac{1}{2}$ 인 원이다. 초승달 모양을 $\mathcal{C}$ 라 부르고

$\begin{aligned} D &= \big\{ \ (x,y)\ \big|\ x^2+y^2\le 1\ \big\} \\ H &= \big\{ \ (x,y)\ \big|\ \left(x-\tfrac{1}{2}\right)^2+y^2\le\tfrac{1}{4}\ \big\} \end{aligned}$

라 하면

$\mathcal{C}= D\setminus H$

이다. 즉 $\mathcal{C}$ 는 원판 $D$ 에서 "구멍" $H$ 를 제거한 것이다. 다음은 개략도이다.

(a) $D$ 는 반지름이 $1$ 인 원판이므로 넓이가 $\pi$ 이다. $H$ 는 반지름이 ${1}/{2}$ 인 원판이므로 넓이가 ${\pi}/{4}$ 이다. $\mathcal{C}$ 의 밀도가 $1$ 이므로

$\begin{aligned} \text{Mass}(\mathcal{C}) &= \iint _\mathcal{C} \mathrm{d}A = \iint _D\mathrm{d}A -\iint _H\mathrm{d}A \\ &=\pi - \frac{\pi}{4} \\ &=\frac{3\pi}{4} \end{aligned}$

(b) 정의에 따라 $\mathcal{C}$ 의 질량중심의 $x$ 좌표는 $\mathcal{C}$ 위에서 $x$ 의 평균값이며, 이는

$\begin{aligned} \bar x = \frac{\iint _\mathcal{C} x\,\mathrm{d}A}{\iint _\mathcal{C} \mathrm{d}A} \end{aligned}$

이다. 앞에서 $\iint _\mathcal{C} \mathrm{d}A=\frac{3\pi}{4}$ 임을 이미 구했다. 따라서 분자

$\iint _\mathcal{C} x\,\mathrm{d}A = \iint _D x\,\mathrm{d}A - \iint _H x\,\mathrm{d}A$

를 구해야 한다.

$x$ 는 기함수이고 $D$ 는 $x\rightarrow -x$ 에 대해 변하지 않으므로 $\iint _D x\,\mathrm{d}A=0$ 이다. 따라서 $\iint _H x\,\mathrm{d}A$ 만 구하면 된다. 이를 위해 극좌표를 사용하면 $\mathrm{d}A = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta$ 이다. 극좌표에서 $x^2 + y^2 = x$ 는 $r^2 =r\cos\theta$ , 즉 $r=\cos\theta$ 이다. 따라서 위의 그림((a)의 풀이 바로 앞의 그림)을 보면, 적분 영역에서

$\theta$ 는 $-\frac{\pi}{2}$ 부터 $\frac{\pi}{2}$ 까지 변한다.
그 범위의 각 고정된 $\theta$ 에 대해 $r$ 은 $0$ 부터 $\cos\theta$ 까지 변한다.

따라서 적분은

$\begin{aligned} \iint _H x\,\mathrm{d}A &= \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\int_0^{\cos\theta}\mathrm{d}r\ r\overbrace{(r\cos\theta)}^{x} \\ &=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\mathrm{d}\theta \ \frac{\cos^4\theta}{3} \\ &= \frac{\pi}{8} \end{aligned}$

이다. 이상을 종합하면

$\begin{aligned} \bar x = \frac{\iint _\mathcal{C} x\,\mathrm{d}A}{\iint _\mathcal{C} \mathrm{d}A} = \frac{\iint _D x\,\mathrm{d}A - \iint _H x\,\mathrm{d}A}{\iint _\mathcal{C} \mathrm{d}A} =\frac{0-\frac{\pi}{8}}{\frac{3\pi}{4}} =-\frac{1}{6} \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

Note that $x^2+y^2=x$ is equivalent to $\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+y^2=\frac{1}{4}$ , which is the circle of radius $\frac{1}{2}$ centred on $\left(\frac{1}{2},0\right)$ . Let's call the crescent $\mathcal{C}$ and write

$\begin{aligned} D &= \big\{ \ (x,y)\ \big|\ x^2+y^2\le 1\ \big\} \\ H &= \big\{ \ (x,y)\ \big|\ \left(x-\tfrac{1}{2}\right)^2+y^2\le\tfrac{1}{4}\ \big\} \end{aligned}$

so that

$\mathcal{C}= D\setminus H$

meaning that $\mathcal{C}$ is the disk $D$ with the “hole” $H$ removed. Here is a sketch.

(a) As $D$ is a disk of radius $1$ , it has area $\pi$ . As $H$ is a disk of radius ${1}/{2}$ , it has area ${\pi}/{4}$ . As $\mathcal{C}$ has density $1$ ,

$\begin{aligned} \text{Mass}(\mathcal{C}) &= \iint _\mathcal{C} \mathrm{d}A = \iint _D\mathrm{d}A -\iint _H\mathrm{d}A \\ &=\pi - \frac{\pi}{4} \\ &=\frac{3\pi}{4} \end{aligned}$

(b) Recall that, by definition, the $x$ –coordinate of the centre of mass of $\mathcal{C}$ is the average value of $x$ over $\mathcal{C}$ , which is

$\begin{aligned} \bar x = \frac{\iint _\mathcal{C} x\,\mathrm{d}A}{\iint _\mathcal{C} \mathrm{d}A} \end{aligned}$

We have already found that $\iint _\mathcal{C} \mathrm{d}A=\frac{3\pi}{4}$ . So we have to determine the numerator

$\iint _\mathcal{C} x\,\mathrm{d}A = \iint _D x\,\mathrm{d}A - \iint _H x\,\mathrm{d}A$

As $x$ is an odd function and $D$ is invariant under $x\rightarrow -x$ , $\iint _D x\,\mathrm{d}A=0$ . So we just have to determine $\iint _H x\,\mathrm{d}A$ . To do so we'll work in polar coordinates, so that $\mathrm{d}A = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta$ . In polar coordinates $x^2 + y^2 = x$ is $r^2 =r\cos\theta$ or $r=\cos\theta$ . So, looking at the figure above (just before the solution to part (a)), on the domain of integration,

$\theta$ runs from $-\frac{\pi}{2}$ to $\frac{\pi}{2}$ .
For each fixed $\theta$ in that range, $r$ runs from $0$ to $\cos\theta$ .

So the integral is

So all together

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 3.3절 · 9번우리말 번역

$D$ 를 $xy$ –평면에서 원 $x^2+(y-1)^2=1$ 의 내부에 있으면서 원 $x^2+y^2=2$ 의 외부에 있는 영역이라고 하자. 밀도가 다음과 같이 주어질 때, 이 영역의 질량을 구하세요. $\rho(x,y)=\frac{2}{\sqrt{x^2+y^2}}$

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

정의역은 아래 그림과 같다.

두 원은 $x^2+y^2=2$ 이고 다음을 만족할 때 만난다.

$\begin{aligned} x^2+(y-1)^2=2-y^2+(y-1)^2=1 \iff -2y+3=1\iff y=1\text{ 그리고 } x=\pm 1 \end{aligned}$

극좌표에서 $x^2+y^2=2$ 는 $r=\sqrt{2}$ 이고, $x^2+(y-1)^2=x^2+y^2-2y+1=1$ 은 $r^2-2r\sin\theta=0$ 즉 $r=2\sin\theta$ 이다. 두 곡선은 $r=\sqrt{2}$ 이고 $\sqrt{2}=2\sin\theta$ 일 때 만나므로 $\theta=\frac{\pi}{4}$ 또는 $\frac{3}{4}\pi$ 이다. 따라서

$D=\big\{ \ (r\cos\theta,r\sin\theta)\ \big|\ \tfrac{1}{4}\pi\le\theta\le\tfrac{3}{4}\pi,\ \sqrt{2}\le r\le 2\sin\theta\ \big\}$

이고, 밀도가 $\frac{2}{r}$ 이므로

$\begin{aligned} \text{질량} &=\int_{\pi/4}^{3\pi/4}\mathrm{d}\theta\int^{2\sin\theta}_{\sqrt{2}}\mathrm{d}r\ r\frac{2}{r} =2\int_{\pi/4}^{3\pi/4}\mathrm{d}\theta\ \big[2\sin\theta -\sqrt{2}\,\big] =4\int_{\pi/4}^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\ \big[2\sin\theta -\sqrt{2}\,\big] \\ &=4\Big[-2\cos\theta -\sqrt{2}\theta\Big] _{\pi/4}^{\pi/2} =4\sqrt{2} -\sqrt{2}\pi\approx 1.214 \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 다중적분의 응용(질량·질량중심)계산보통자동 분류