삼중적분

먼저 $E$ 가 어떤 모양인지 알아야 한다. 다음은 그 개형이다.

세 점 $(-1,0,0)$, $(0,-2,0)$, $(0,0,3)$ 을 지나는 평면의 방정식이 필요하다. 이 평면은 원점을 지나지 않으므로 방정식이 $ax+by+cz=1$ 의 꼴이다.

• $(-1,0,0)$ 이 평면 $ax+by+cz=1$ 위에 있을 필요충분조건은 $a(-1)+b(0)+c(0)=1$ 이다. 따라서 $a=-1$ 이다.
• $(0,-2,0)$ 이 평면 $ax+by+cz=1$ 위에 있을 필요충분조건은 $a(0)+b(-2)+c(0)=1$ 이다. 따라서 $b=-\frac{1}{2}$ 이다.
• $(0,0,3)$ 이 평면 $ax+by+cz=1$ 위에 있을 필요충분조건은 $a(0)+b(0)+c(3)=1$ 이다. 따라서 $c=\frac{1}{3}$ 이다.

따라서 세 점 $(-1,0,0)$, $(0,-2,0)$, $(0,0,3)$ 을 지나는 평면은 $-x-\frac{y}{2}+\frac{z}{3}=1$ 이다.

이제 $E$ 를 수학적으로 자세히 나타낼 수 있다. 점 $(x,y,z)$ 가 $E$ 에 속할 필요충분조건은 다음과 같다.

• $(x,y,z)$ 가 $xy$평면의 위쪽에 있다. 즉 $z\ge 0$ 이고,
• $(x,y,z)$ 가 $xz$평면의 왼쪽에 있다. 즉 $y\le 0$ 이고,
• $(x,y,z)$ 가 $yz$평면의 뒤쪽에 있다. 즉 $x\le 0$ 이고,
• $(x,y,z)$ 가 평면 $-x-\frac{y}{2}+\frac{z}{3}=1$ 에 대해 원점과 같은 쪽에 있다. 즉 $-x-\frac{y}{2}+\frac{z}{3}\le 1$ 이다. ($(0,0,0)$ 이 이 부등식을 만족하는지 직접 확인해 보자.)

따라서

$$E=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x\le 0,\ y\le 0,\ z\ge 0,\ -x-\tfrac{y}{2}+\tfrac{z}{3}\le 1\ \big\}$$

(a) 가장 바깥쪽 적분이 $x$에 대한 적분이 되어야 함에 유의하자. $E$ 에서

• $x$ 는 $-1$ 에서 $0$ 까지 변하고,
• 그 범위의 각 고정된 $x$ 에 대해 $(y,z)$ 는 다음 영역을 움직인다.

$$\begin{aligned} E_x=\big\{ \ (y,z)\ \big|\ y\le 0,\ z\ge 0,\ -\tfrac{y}{2}+\tfrac{z}{3}\le 1+x\ \big\} \end{aligned}$$

다음은 $E_x$ 의 개형이다.

• $E_x$ 에서 $y$ 는 $-2(1+x)$ 에서 $0$ 까지 변하고,
• 그러한 각 고정된 $y$ 에 대해 $z$ 는 $0$ 에서 $3(1+x+y/2)$ 까지 변한다.

따라서

$$\begin{aligned} I = \int_{x=-1}^{x=0}\int_{y=-2(1+x)}^{y=0}\int_{z=0}^{z=3(1+x+y/2)} f(x,y,z)\ \mathrm{d}z\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x \end{aligned}$$

(b) 이번에는 가장 바깥쪽 적분이 $z$에 대한 적분이어야 한다. $E$ 의 개형을 다시 보면, $E$ 에서

• $z$ 는 $0$ 에서 $3$ 까지 변하고,
• 그 범위의 각 고정된 $z$ 에 대해 $(x,y)$ 는 다음 영역을 움직인다.

$$\begin{aligned} E_z=\big\{ \ (x,y)\ \big|\ x\le 0,\ y\le 0,\ -x-\tfrac{y}{2}\le 1-\tfrac{z}{3}\ \big\} \end{aligned}$$

다음은 $E_z$ 의 개형이다.

• $E_z$ 에서 $x$ 는 $-(1-z/3)$ 에서 $0$ 까지 변하고,
• 그러한 각 고정된 $x$ 에 대해 $y$ 는 $-2(1+x-z/3)$ 에서 $0$ 까지 변한다.

따라서

$$\begin{aligned} I = \int_{z=0}^{z=3}\int_{x=-(1-z/3)}^{x=0}\int_{y=-2(1+x-z/3)}^{y=0} f(x,y,z)\ \mathrm{d}y\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}z \end{aligned}$$