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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다중적분

삼중적분

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CLP-3 · 3.5절 · 14번대학 수준우리말 번역

직사각형 상자

R={ (x,y,z) ∣ 0≤x≤1, 0≤y≤2, 0≤z≤3 }R=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le x\le 1,\ 0\le y\le 2,\ 0\le z\le 3\ \big\}

에 대하여 ∭Ryz2e−xyz dV\iiint _R yz^2 e^{-xyz}\ \mathrm{d}V 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate ∭Ryz2e−xyz dV\iiint _R yz^2 e^{-xyz}\ \mathrm{d}V over the rectangular box

R={ (x,y,z) ∣ 0≤x≤1, 0≤y≤2, 0≤z≤3 }R=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le x\le 1,\ 0\le y\le 2,\ 0\le z\le 3\ \big\}

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적분은 다음과 같다.

∭Ryz2e−xyz dV=∫03dz∫02dy∫01dx yz2e−xyz=∫03dz∫02dy [−ze−xyz]x=0x=1=∫03dz∫02dy [z−ze−yz]=∫03dz [zy+e−yz]y=0y=2=∫03dz [2z+e−2z−1]=[z2−12e−2z−z]03=132−e−62\begin{aligned} \iiint _R yz^2 e^{-xyz}\ \mathrm{d}V &=\int_0^3\mathrm{d}z\int_0^2\mathrm{d}y\int_0^1\mathrm{d}x\ yz^2 e^{-xyz} \\ &=\int_0^3\mathrm{d}z\int_0^2\mathrm{d}y\ \Big[-z e^{-xyz}\Big]_{x=0}^{x=1} =\int_0^3\mathrm{d}z\int_0^2\mathrm{d}y\ \Big[z-z e^{-yz}\Big] \\ &=\int_0^3\mathrm{d}z\ \Big[zy+ e^{-yz}\Big]_{y=0}^{y=2} =\int_0^3\mathrm{d}z\ \Big[2z+ e^{-2z}-1\Big] \\ &=\left[z^2-\frac{1}{2} e^{-2z}-z\right]_0^3 =\frac{13}{2}-\frac{e^{-6}}{2} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

The integral

∭Ryz2e−xyz dV=∫03dz∫02dy∫01dx yz2e−xyz=∫03dz∫02dy [−ze−xyz]x=0x=1=∫03dz∫02dy [z−ze−yz]=∫03dz [zy+e−yz]y=0y=2=∫03dz [2z+e−2z−1]=[z2−12e−2z−z]03=132−e−62\begin{aligned} \iiint _R yz^2 e^{-xyz}\ \mathrm{d}V &=\int_0^3\mathrm{d}z\int_0^2\mathrm{d}y\int_0^1\mathrm{d}x\ yz^2 e^{-xyz} \\ &=\int_0^3\mathrm{d}z\int_0^2\mathrm{d}y\ \Big[-z e^{-xyz}\Big]_{x=0}^{x=1} =\int_0^3\mathrm{d}z\int_0^2\mathrm{d}y\ \Big[z-z e^{-yz}\Big] \\ &=\int_0^3\mathrm{d}z\ \Big[zy+ e^{-yz}\Big]_{y=0}^{y=2} =\int_0^3\mathrm{d}z\ \Big[2z+ e^{-2z}-1\Big] \\ &=\left[z^2-\frac{1}{2} e^{-2z}-z\right]_0^3 =\frac{13}{2}-\frac{e^{-6}}{2} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 3.5절 · 3번우리말 번역

RR 이 좌표평면과 평면 xa+yb+zc=1\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 로 둘러싸인 사면체일 때, ∭Rx dV\displaystyle \iiint _R x\ \mathrm{d}V 의 값을 구하세요.

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적분 영역은 다음과 같다.

V={ (x,y,z) ∣ x,y,z≥0, xa+yb+zc≤1 }V=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x,y,z\ge 0,\ \tfrac{x}{a}+\tfrac{y}{b}+\tfrac{z}{c}\le 1\ \big\}

  • VV 에서 zc≤1−xa−yb\tfrac{z}{c}\le 1-\tfrac{x}{a}-\tfrac{y}{b} 이고 x,y≥0x,y\ge0 이므로, VV 에서 zz 의 최댓값은 x=y=0x=y=0 일 때 얻어지며 cc 이다. 따라서 VV 에서 zz 는 00 부터 cc 까지 변한다.
  • 0≤z≤c0\le z\le c 인 각각의 고정된 zz 에 대해, (x,y)(x,y) 는 다음 영역의 모든 값을 취한다.

Dz={ (x,y) ∣ x,y≥0, xa+yb≤1−zc }D_z=\big\{ \ (x,y)\ \big|\ x,y\ge 0,\ \tfrac{x}{a}+\tfrac{y}{b}\le 1-\tfrac{z}{c}\ \big\}

DzD_z 에서 yy 의 최댓값은 x=0x=0 일 때 얻어지며 b(1−zc)b\left(1-\tfrac{z}{c}\right) 이다. 따라서 DzD_z 에서 yy 는 00 부터 b(1−zc)b\left(1-\tfrac{z}{c}\right) 까지 변한다.

  • 0≤z≤c0\le z\le c 와 0≤y≤b(1−zc)0\le y \le b\left(1-\tfrac{z}{c}\right) 인 각각의 고정된 zz, yy 에 대해, xx 는 다음 범위를 움직인다.

Dy,z={ x ∣ 0≤x≤a(1−yb−zc) }D_{y,z}=\big\{ \ x\ \big|\ 0\le x \le a\left(1-\tfrac{y}{b}-\tfrac{z}{c}\right)\ \big\}

이는 아래 오른쪽 그림에 나타나 있다.

그림

그림

따라서 주어진 적분은 다음과 같다.

∭Rx dV=∫0cdz∬Dzdx dy x=∫0cdz∫0b(1−zc)dy∫Dy,zdx x=∫0cdz∫0b(1−zc)dy∫0a(1−yb−zc)dx x=∫0cdz∫0b(1−zc)dy a22(1−yb−zc)2=∫0cdz [−a2b6(1−yb−zc)3]0b(1−zc)=∫0cdz a2b6(1−zc)3=[−a2bc24(1−zc)4]0c=a2bc24\begin{aligned} \iiint _R x\ \mathrm{d}V &=\int_0^c \mathrm{d}z \iint _{D_z} \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\ x = \int_0^c \mathrm{d}z\int_0^{b(1-{z\over c})}\mathrm{d}y\int_{D_{y,z}}\mathrm{d}x\ x\\ &=\int_0^c \mathrm{d}z\int_0^{b(1-{z\over c})}\mathrm{d}y \int_0^{a(1-{y\over b}-{z\over c})} \mathrm{d}x\ x =\int_0^c \mathrm{d}z\int_0^{b(1-{z\over c})} \mathrm{d}y\ \frac{a^2}{2} \left(1-\frac{y}{b}-\frac{z}{c}\right)^2 \\ &=\int_0^c \mathrm{d}z\ \left[-\frac{a^2b}{6} \left(1-\frac{y}{b}-\frac{z}{c}\right)^3 \right]_0^{b(1-{z\over c})} =\int_0^c \mathrm{d}z\ \frac{a^2b}{6}\left(1-\frac{z}{c}\right)^3 \\ &=\left[-\frac{a^2bc}{24}\left(1-\frac{z}{c}\right)^4 \right]_0^c =\frac{a^2bc}{24} \end{aligned}

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