삼중적분 연습문제 — CLP-3 · 3.5절 · 19번

CLP-3 · 3.5절 · 19번대학 수준우리말 번역

$E$ 를 평면 $y=0$ , $y=2$ , $y+z=3$ 과 곡면 $z=x^2$ 으로 둘러싸인 영역이라 하자. 다음 적분을 생각하세요.

$\begin{aligned} I=\iiint _E f(x,y,z)\ \mathrm{d}V \end{aligned}$

아래 빈칸을 채우세요. 아래 각 부분에서 답을 나타내는 데 적분이 하나만 필요할 수도 있습니다. 그 경우 나머지 적분은 비워 두세요.

(a) $\displaystyle I=\int_{\underline{\ \ \ \ }}^{\underline{\ \ \ \ }} \int_{\underline{\ \ \ \ }}^{\underline{\ \ \ \ }} \int_{\underline{\ \ \ \ }}^{\underline{\ \ \ \ }} f(x,y,z)\ \mathrm{d}z\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y + \int_{\underline{\ \ \ \ }}^{\underline{\ \ \ \ }} \int_{\underline{\ \ \ \ }}^{\underline{\ \ \ \ }} \int_{\underline{\ \ \ \ }}^{\underline{\ \ \ \ }} f(x,y,z)\ \mathrm{d}z\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$

(b) $\displaystyle I=\int_{\underline{\ \ \ \ }}^{\underline{\ \ \ \ }} \int_{\underline{\ \ \ \ }}^{\underline{\ \ \ \ }} \int_{\underline{\ \ \ \ }}^{\underline{\ \ \ \ }} f(x,y,z)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z + \int_{\underline{\ \ \ \ }}^{\underline{\ \ \ \ }} \int_{\underline{\ \ \ \ }}^{\underline{\ \ \ \ }} \int_{\underline{\ \ \ \ }}^{\underline{\ \ \ \ }} f(x,y,z)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z$

(c) $\displaystyle I=\int_{\underline{\ \ \ \ }}^{\underline{\ \ \ \ }} \int_{\underline{\ \ \ \ }}^{\underline{\ \ \ \ }} \int_{\underline{\ \ \ \ }}^{\underline{\ \ \ \ }} f(x,y,z)\ \mathrm{d}y\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}z + \int_{\underline{\ \ \ \ }}^{\underline{\ \ \ \ }} \int_{\underline{\ \ \ \ }}^{\underline{\ \ \ \ }} \int_{\underline{\ \ \ \ }}^{\underline{\ \ \ \ }} f(x,y,z)\ \mathrm{d}y\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}z$

영어 원문 보기

Let $E$ be the region bounded by the planes $y=0$ , $y=2$ , $y+z=3$ and the surface $z=x^2$ . Consider the intergal

$\begin{aligned} I=\iiint _E f(x,y,z)\ \mathrm{d}V \end{aligned}$

Fill in the blanks below. In each part below, you may need only one integral to express your answer. In that case, leave the other blank.

정답·풀이 보기

먼저 $E$ 가 어떤 모양인지 파악해야 한다. 방정식 $y=0$ , $y=2$ , $y+z=3$ , $z=x^2$ 은 모두 $x\rightarrow -x$ 에 대해 변하지 않는다. 따라서 $E$ 는 $x\rightarrow -x$ 에 대해 변하지 않으며, 즉 $yz$ 평면에 대해 대칭이다. $E$ 의 제1팔분공간(즉 $x,y,z\ge 0$ ) 부분을 그려 보자. $x\le 0$ , $y\ge 0$ , $z\ge 0$ 인 부분도 있다.

다음은 왼쪽에 평면 $y=2$ , 가운데에 평면 $y+z=3$ , 오른쪽에 좌표평면 $x=0$ , $y=0$ , $z=0$ 과 평면 $y=2$ , $y+z=3$ 으로 둘러싸인 "터널"의 그림이다.

이제 왼쪽 그림은 포물기둥 $z=x^2$ 이다. $E$ 는 포물기둥 $z=x^2$ 으로 터널 $x\ge 0$ , $0\le y\le 2$ , $z\ge 0$ , $y+z\le 3$ 의 앞부분을 잘라 내어 만든 것이다. 오른쪽 그림이 그 개략도이다.

따라서

$E=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le y\le 2,\ x^2\le z\le 3-y\ \big\}$

(a) $E$ 에서

$y$ 는 $0$ 부터 $2$ 까지 변한다.
그 범위의 각 고정된 $y$ 에 대해 $(x,z)$ 는 $\big\{ \ (x,z)\ \big|\ x^2\le z\le 3-y\ \big\}$ 위를 움직인다.
특히 $x^2$ 의 최댓값은 $3-y$ 이다( $z=3-y$ 일 때). 따라서 $x$ 는 $-\sqrt{3-y}$ 부터 $\sqrt{3-y}$ 까지 변한다.
위와 같은 고정된 $y$ , $x$ 에 대해 $z$ 는 $x^2$ 부터 $3-y$ 까지 변한다.

그러므로

$\begin{aligned} I=\iiint _E f(x,y,z)\ \mathrm{d}V = \int_0^2 \int_{-\sqrt{3-y}}^{\sqrt{3-y}} \int_{x^2}^{3-y} f(x,y,z)\ \mathrm{d}z\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \end{aligned}$

(b) $E$ 에서

$z$ 는 $0$ 부터 $3$ 까지 변한다.
그 범위의 각 고정된 $z$ 에 대해 $(x,y)$ 는 다음 집합 위를 움직인다.

$\big\{ \ (x,y)\ \big|\ 0\le y\le 2,\ x^2\le z\le 3-y\ \big\} =\big\{ \ (x,y)\ \big|\ 0\le y\le 2,\ y\le 3-z,\ x^2\le z\ \big\}$

특히 $y$ 는 $0$ 부터 $2$ 와 $3-z$ 중 작은 값까지 변한다.

따라서 $0\le z\le 1$ 이면( $3-z\ge 2$ 이므로) $(x,y)$ 는 $\big\{ \ (x,y)\ \big|\ 0\le y\le 2,\ x^2\le z\ \big\}$ 위를 움직이고,
$1\le z\le 3$ 이면 ( $3-z\le 2$ 이므로) $(x,y)$ 는 $\big\{ \ (x,y)\ \big|\ 0\le y\le 3-z,\ x^2\le z\ \big\}$ 위를 움직인다.

그러므로

$\begin{aligned} I= \int_0^1 \int_0^2 \int_{-\sqrt{z}}^{\sqrt{z}} f(x,y,z)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z +\int_1^3 \int_0^{3-z} \int_{-\sqrt{z}}^{\sqrt{z}} f(x,y,z)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z \end{aligned}$

$z$ 는 $0$ 부터 $3$ 까지 변한다.
그 범위의 각 고정된 $z$ 에 대해 $(x,y)$ 는 다음 집합 위를 움직인다.

$\big\{ \ (x,y)\ \big|\ 0\le y\le 2,\ x^2\le z\le 3-y\ \big\}$

특히 $y$ 는 $0$ 부터 $2$ 와 $3-z$ 중 작은 값까지 변한다.

따라서 $0\le z\le 1$ 이면( $3-z\ge 2$ 이므로) $(x,y)$ 는 $\big\{ \ (x,y)\ \big|\ 0\le y\le 2,\ x^2\le z\ \big\}$ 위를 움직이고,
$1\le z\le 3$ 이면 ( $3-z\le 2$ 이므로) $(x,y)$ 는 $\big\{ \ (x,y)\ \big|\ 0\le y\le 3-z,\ x^2\le z\ \big\}$ 위를 움직인다.

그러므로

$\begin{aligned} I= \int_0^1 \int_{-\sqrt{z}}^{\sqrt{z}}\int_0^2 f(x,y,z)\ \mathrm{d}y\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}z +\int_1^3 \int_{-\sqrt{z}}^{\sqrt{z}} \int_0^{3-z} f(x,y,z)\ \mathrm{d}y\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}z \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

First, we need to develop an understanding of what $E$ looks like. Note that all of the equations $y=0$ , $y=2$ , $y+z=3$ and $z=x^2$ are invariant under $x\rightarrow -x$ . So $E$ is invariant under $x\rightarrow -x$ , i.e. is symmetric about the $yz$ –plane. We'll sketch the first octant (i.e. $x,y,z\ge 0$ ) part of $E$ . There is also a $x\le 0$ , $y\ge 0$ , $z\ge 0$ part.

Here are sketches of the plane $y=2$ , on the left, the plane $y+z=3$ in the centre and of the “tunnel” bounded by the coordinate planes $x=0$ , $y=0$ , $z=0$ and the planes $y=2$ , $y+z=3$ , on the right.

Now here is the parabolic cylinder $z=x^2$ on the left. $E$ is constructed by using the parabolic cylinder $z=x^2$ to chop the front off of the tunnel $x\ge 0$ , $0\le y\le 2$ , $z\ge 0$ , $y+z\le 3$ . The figure on the right is a sketch.

$E=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le y\le 2,\ x^2\le z\le 3-y\ \big\}$

(a) On $E$

$y$ runs from $0$ to $2$ .
For each fixed $y$ in that range, $(x,z)$ runs over $\big\{ \ (x,z)\ \big|\ x^2\le z\le 3-y\ \big\}$ .
In particular, the largest $x^2$ is $3-y$ (when $z=3-y$ ). So $x$ runs from $-\sqrt{3-y}$ to $\sqrt{3-y}$ .
For fixed $y$ and $x$ as above, $z$ runs from $x^2$ to $3-y$ .

so that

$\begin{aligned} I=\iiint _E f(x,y,z)\ \mathrm{d}V = \int_0^2 \int_{-\sqrt{3-y}}^{\sqrt{3-y}} \int_{x^2}^{3-y} f(x,y,z)\ \mathrm{d}z\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \end{aligned}$

(b) On $E$

$z$ runs from $0$ to $3$ .
For each fixed $z$ in that range, $(x,y)$ runs over

$\big\{ \ (x,y)\ \big|\ 0\le y\le 2,\ x^2\le z\le 3-y\ \big\} =\big\{ \ (x,y)\ \big|\ 0\le y\le 2,\ y\le 3-z,\ x^2\le z\ \big\}$

In particular, $y$ runs from $0$ to the minimum of $2$ and $3-z$ .

So if $0\le z\le 1$ (so that $3-z\ge 2$ ), $(x,y)$ runs over $\big\{ \ (x,y)\ \big|\ 0\le y\le 2,\ x^2\le z\ \big\}$ , while
if $1\le z\le 3$ , (so that $3-z\le 2$ ), $(x,y)$ runs over $\big\{ \ (x,y)\ \big|\ 0\le y\le 3-z,\ x^2\le z\ \big\}$ ,

so that

$z$ runs from $0$ to $3$ .
For each fixed $z$ in that range, $(x,y)$ runs over

$\big\{ \ (x,y)\ \big|\ 0\le y\le 2,\ x^2\le z\le 3-y\ \big\}$

In particular, $y$ runs from $0$ to the minimum of $2$ and $3-z$ .

So if $0\le z\le 1$ (so that $3-z\ge 2$ ), $(x,y)$ runs over $\big\{ \ (x,y)\ \big|\ 0\le y\le 2,\ x^2\le z\ \big\}$ , while
if $1\le z\le 3$ , (so that $3-z\le 2$ ), $(x,y)$ runs over $\big\{ \ (x,y)\ \big|\ 0\le y\le 3-z,\ x^2\le z\ \big\}$ ,

so that

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 3.5절 · 21번우리말 번역

평면 $x=1$ , $y=1$ , $z=1$ , $x+y+z=2$ 로 둘러싸인 사면체를 $D$ 라 할 때, $\displaystyle \iiint _D x\,\mathrm{d}V$ 의 값을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

평면 $x=1$ , $y=1$ , $z=1$ , $x+y+z=2$ 와 영역 $D$ 를 아래와 같이 그렸다.

그리고 평면들로 그림이 복잡해지지 않도록 $D$ 만 그리면 다음과 같다.

$D$ 에서

$z$ 는 $0$ 에서 $1$ 까지 변하고,
0과 1 사이의 각 고정된 $z$ 에 대해 $(x,y)$ 는 $x=1$ , $y=1$ , $x+y=2-z$ 로 둘러싸인 삼각형 $T_z$ 위를 움직인다. $z=0$ 일 때 이 삼각형은 한 점(사면체의 아래쪽 꼭짓점)임에 주목한다. $z$ 가 증가하면 삼각형이 커지고, $z=1$ 일 때 크기가 최대가 된다.

$T_z$ 의 그림은 다음과 같다.

적분 영역을 설정하기 위해, 각 $0\le z\le 1$ 에 대해 위 그림과 같이 $T_z$ 를 세로 띠로 나눈다. $T_z$ 에서

$x$ 는 $1-z$ 에서 $1$ 까지 변하고,
$1-z$ 와 $1$ 사이의 각 고정된 $x$ 에 대해 $y$ 는 $2-x-z$ 에서 $1$ 까지 변한다.

따라서

$\begin{aligned} \iiint _D x\,\mathrm{d}V &=\int_0^1\mathrm{d}z\iint _{T_z}\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\ x =\int_0^1 \mathrm{d}z\int_{1-z}^1 \mathrm{d}x\int_{2-x-z}^1 \mathrm{d}y\ x \\ &=\int_0^1 \mathrm{d}z\int_{1-z}^1 \mathrm{d}x\ x(x+z-1)\\ &=\int_0^1 \mathrm{d}z\ \left[\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2} x^2(z-1)\right]_{1-z}^1\\ &=\int_0^1 \mathrm{d}z\ \left[\frac{1}{3}+\frac{1}{2} (z-1)-\frac{1}{3}(1-z)^3 -\frac{1}{2}(1-z)^2(z-1)\right]\\ &=\int_0^1 \mathrm{d}z\ \left[\frac{1}{3}+\frac{1}{2} (z-1) -\frac{1}{6}(z-1)^3\right]\\ &=\left[\frac{1}{3}z+\frac{1}{4} (z-1)^2-\frac{1}{24}(z-1)^4\right]_0^1 =\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{24}=\frac{3}{24} \\ &=\frac{1}{8}=0.125 \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 삼중적분계산보통자동 분류