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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다중적분

원기둥·구면좌표 삼중적분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 3.6절 · 1번대학 수준우리말 번역

(r,θ,z)(r,\theta,z) 는 원기둥좌표를 나타낸다고 하자.

(a) r=0r=0 의 그래프를 그리세요. (b) r=1r=1 의 그래프를 그리세요. (c) θ=0\theta=0 의 그래프를 그리세요. (d) θ=π/4\theta={\pi}/{4} 의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

Use (r,θ,z)(r,\theta,z) to denote cylindrical coordinates.

(a) Draw r=0r=0. (b) Draw r=1r=1. (c) Draw θ=0\theta=0. (d) Draw θ=π/4\theta={\pi}/{4}.

정답·풀이 보기

(a), (b) 점 (x,y,z)(x,y,z) 의 원기둥좌표 r(x,y,z)r(x,y,z) 는 (x,y,z)(x,y,z) 에서 zz축까지의 거리 x2+y2\sqrt{x^2+y^2} 이므로, 집합

{ (x,y,z) ∣ r(x,y,z)=0 }={ (x,y,z) ∣ x2+y2=0 }={ (x,y,z) ∣ x=y=0 }=z축{ (x,y,z) ∣ r(x,y,z)=1 }={ (x,y,z) ∣ x2+y2=1 }=z축을 중심으로 하는 반지름이 1인 원기둥\begin{aligned} \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ r(x,y,z)=0\ \big\} &=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2=0\ \big\} =\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x=y=0\ \big\} \\ &=\text{$z$축} \\ \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ r(x,y,z)=1\ \big\} &=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2=1\ \big\} \\ &=\text{$z$축을 중심으로 하는 반지름이 $1$인 원기둥} \end{aligned}

이다.

그림

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(c), (d) 점 (x,y,z)(x,y,z) 의 원기둥좌표 θ(x,y,z)\theta(x,y,z) 는 양의 xx축과 (0,0,0)(0,0,0) 에서 (x,y,0)(x,y,0) 까지의 직선이 이루는 각이므로, 집합

{ (x,y,z) ∣ θ(x,y,z)=0 }=xz평면에서 x>0 인 쪽 반평면{ (x,y,z) ∣ θ(x,y,z)=π/4 }=평면 y=x 에서 x>0 인 쪽 반평면\begin{aligned} \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ \theta(x,y,z)=0\ \big\} &=\text{$xz$평면에서 $x>0$ 인 쪽 반평면} \\ \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ \theta(x,y,z)={\pi}/{4}\ \big\} &=\text{평면 $y=x$ 에서 $x>0$ 인 쪽 반평면} \end{aligned}

이다.

그림

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원본 교재 풀이(영어)

(a), (b) Since the cylindrical coordinate r(x,y,z)r(x,y,z) of a point (x,y,z)(x,y,z) is the distance, x2+y2\sqrt{x^2+y^2}, from (x,y,z)(x,y,z) to the zz-axis, the sets

{ (x,y,z) ∣ r(x,y,z)=0 }={ (x,y,z) ∣ x2+y2=0 }={ (x,y,z) ∣ x=y=0 }=the z-axis{ (x,y,z) ∣ r(x,y,z)=1 }={ (x,y,z) ∣ x2+y2=1 }=the cylinder of radius 1 centred on the z-axis\begin{aligned} \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ r(x,y,z)=0\ \big\} &=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2=0\ \big\} =\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x=y=0\ \big\} \\ &=\text{the $z$-axis} \\ \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ r(x,y,z)=1\ \big\} &=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2=1\ \big\} \\ &=\text{the cylinder of radius $1$ centred on the $z$-axis} \end{aligned}

figure

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(c), (d) Since the cylindrical coordinate θ(x,y,z)\theta(x,y,z) of a point (x,y,z)(x,y,z) is the angle between the positive xx-axis and the line from (0,0,0)(0,0,0) to (x,y,0)(x,y,0), the sets

{ (x,y,z) ∣ θ(x,y,z)=0 }=the half of the xz-plane with x>0{ (x,y,z) ∣ θ(x,y,z)=π/4 }=the half of the plane y=x with x>0\begin{aligned} \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ \theta(x,y,z)=0\ \big\} &=\text{the half of the $xz$-plane with $x>0$} \\ \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ \theta(x,y,z)={\pi}/{4}\ \big\} &=\text{the half of the plane $y=x$ with $x>0$} \end{aligned}

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한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 5.5절 · 5번우리말 번역

다음 연습문제에서, 입체 BB 위에서 삼중적분 ∭Bf(x,y,z)dV\iiint_{B}f(x,y,z)dV 의 값을 구하세요.

f(x,y,z)=ex2+y2,f(x,y,z)={e}^{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}, B={(x,y,z)∣1≤x2+y2≤4,y≤0,x≤y3,2≤z≤3}B=\{(x,y,z)|1\le {x}^{2}+{y}^{2}\le 4,y\le 0,x\le y\sqrt{3},2\le z\le 3\}

답 쓰고 채점
다 풀었으면 정답 확인

πe26\frac{\pi {e}^{2}}{6}

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