원기둥·구면좌표 삼중적분 연습문제 — CLP-3 · 3.6절 · 2번

CLP-3 · 3.6절 · 2번대학 수준우리말 번역

다음과 같이 주어진 원기둥좌표를 갖는 점들을 그리세요.

(a) $r=1$ , $\theta=0$ , $z=0$ (b) $r=1$ , $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $z=0$ (c) $r=1$ , $\theta=\frac{\pi}{2}$ , $z=0$ (d) $r=0$ , $\theta=\pi$ , $z=1$ (e) $r=1$ , $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $z=1$

영어 원문 보기

Sketch the points with the specified cylindrical coordinates.

(a) $r=1$ , $\theta=0$ , $z=0$ (b) $r=1$ , $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $z=0$ (c) $r=1$ , $\theta=\frac{\pi}{2}$ , $z=0$ (d) $r=0$ , $\theta=\pi$ , $z=1$ (e) $r=1$ , $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $z=1$

정답·풀이 보기

그림은 아래와 같다. 이 그림을 그리는 데 도움이 되도록 다음 사실들을 떠올려 보자.

원기둥좌표 $r$ 은 점에서 $z$ 축까지의 거리이다. 특히 $r=0$ 인 모든 점은 ( $\theta$ 의 값에 관계없이) $z$ 축 위에 있다.
원기둥좌표 $z$ 는 점에서 $xy$ 평면까지의 거리이다. 특히 $z=0$ 인 모든 점은 $xy$ 평면 위에 있다.

원본 교재 풀이(영어)

The sketch is below. To help build up this sketch, it is useful to recall the following facts.

The cylindrical coordinate $r$ is the distance of the point from the $z$ -axis. In particular all points with $r=0$ lie on the $z$ -axis (for all values of $\theta$ ).
The cylindrical coordinate $z$ is the distance of the point from the $xy$ -plane. In particular all points with $z=0$ lie on the $xy$ -plane.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 3.6절 · 1번우리말 번역

$(r,\theta,z)$ 는 원기둥좌표를 나타낸다고 하자.

(a) $r=0$ 의 그래프를 그리세요. (b) $r=1$ 의 그래프를 그리세요. (c) $\theta=0$ 의 그래프를 그리세요. (d) $\theta={\pi}/{4}$ 의 그래프를 그리세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a), (b) 점 $(x,y,z)$ 의 원기둥좌표 $r(x,y,z)$ 는 $(x,y,z)$ 에서 $z$ 축까지의 거리 $\sqrt{x^2+y^2}$ 이므로, 집합

$\begin{aligned} \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ r(x,y,z)=0\ \big\} &=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2=0\ \big\} =\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x=y=0\ \big\} \\ &=\text{$z$축} \\ \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ r(x,y,z)=1\ \big\} &=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2=1\ \big\} \\ &=\text{$z$축을 중심으로 하는 반지름이 $1$인 원기둥} \end{aligned}$

이다.

(c), (d) 점 $(x,y,z)$ 의 원기둥좌표 $\theta(x,y,z)$ 는 양의 $x$ 축과 $(0,0,0)$ 에서 $(x,y,0)$ 까지의 직선이 이루는 각이므로, 집합

$\begin{aligned} \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ \theta(x,y,z)=0\ \big\} &=\text{$xz$평면에서 $x>0$ 인 쪽 반평면} \\ \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ \theta(x,y,z)={\pi}/{4}\ \big\} &=\text{평면 $y=x$ 에서 $x>0$ 인 쪽 반평면} \end{aligned}$

이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 원기둥·구면좌표 삼중적분그래프·표 해석기본자동 분류