원기둥·구면좌표 삼중적분 연습문제 — CLP-3 · 3.6절 · 3번

CLP-3 · 3.6절 · 3번대학 수준우리말 번역

원기둥좌표를 직교좌표로 바꾸세요.

(a) $r=1$ , $\theta=0$ , $z=0$ (b) $r=1$ , $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $z=0$ (c) $r=1$ , $\theta=\frac{\pi}{2}$ , $z=0$ (d) $r=0$ , $\theta=\pi$ , $z=1$ (e) $r=1$ , $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $z=1$

영어 원문 보기

Convert from cylindrical to Cartesian coordinates.

(a) $r=1$ , $\theta=0$ , $z=0$ (b) $r=1$ , $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $z=0$ (c) $r=1$ , $\theta=\frac{\pi}{2}$ , $z=0$ (d) $r=0$ , $\theta=\pi$ , $z=1$ (e) $r=1$ , $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $z=1$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

정답·풀이 보기

(a) $\theta=0$ 일 때 $\sin\theta=0$ 이고 $\cos\theta=1$ 이므로, 극좌표 $r=1$ , $\theta=0$ , $z=0$ 은 다음 직교좌표에 대응한다.

$(x,y,z) = (r\cos\theta,r\sin\theta,z) = (1\times\cos 0,\ 1\times\sin 0,\ 0) =(1,0,0)$

(b) $\theta=\frac{\pi}{4}$ 일 때 $\sin\theta=\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{2}}$ 이므로, 극좌표 $r=1$ , $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $z=0$ 은 다음 직교좌표에 대응한다.

$(x,y,z) = (r\cos\theta,r\sin\theta,z) = \left(1\times\cos \frac{\pi}{4},\ 1\times\sin \frac{\pi}{4},\ 0\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0\right)$

(c) $\theta=\frac{\pi}{2}$ 일 때 $\sin\theta=1$ 이고 $\cos\theta=0$ 이므로, 극좌표 $r=1$ , $\theta=\frac{\pi}{2}$ , $z=0$ 은 다음 직교좌표에 대응한다.

$(x,y,z) = (r\cos\theta,r\sin\theta,z) = \left(1\times\cos \frac{\pi}{2},\ 1\times\sin \frac{\pi}{2},\ 0\right) = (0,1,0)$

(d) $\theta=\pi$ 일 때 $\sin\theta=0$ 이고 $\cos\theta=-1$ 이므로, 극좌표 $r=0$ , $\theta=\pi$ , $z=1$ 은 다음 직교좌표에 대응한다.

$(x,y,z) = (r\cos\theta,r\sin\theta,z) = \left(0\times\cos\pi,\ 0\times\sin\pi,\ 1\right) = (0,0,1)$

(e) $\theta=\frac{\pi}{4}$ 일 때 $\sin\theta=\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{2}}$ 이므로, 극좌표 $r=1$ , $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $z=1$ 은 다음 직교좌표에 대응한다.

$(x,y,z) = (r\cos\theta,r\sin\theta,z) = \left(1\times\cos \frac{\pi}{4},\ 1\times\sin \frac{\pi}{4},\ 1\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},1\right)$

원본 교재 풀이(영어)

(a) When $\theta=0$ , $\sin\theta=0$ and $\cos\theta=1$ , so that the polar coordinates $r=1$ , $\theta=0$ , $z=0$ correspond to the Cartesian coordinates

$(x,y,z) = (r\cos\theta,r\sin\theta,z) = (1\times\cos 0,\ 1\times\sin 0,\ 0) =(1,0,0)$

(b) When $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $\sin\theta=\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{2}}$ , so that the polar coordinates $r=1$ , $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $z=0$ correspond to the Cartesian coordinates

$(x,y,z) = (r\cos\theta,r\sin\theta,z) = \left(1\times\cos \frac{\pi}{4},\ 1\times\sin \frac{\pi}{4},\ 0\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0\right)$

(c) When $\theta=\frac{\pi}{2}$ , $\sin\theta=1$ and $\cos\theta=0$ , so that the polar coordinates $r=1$ , $\theta=\frac{\pi}{2}$ , $z=0$ correspond to the Cartesian coordinates

$(x,y,z) = (r\cos\theta,r\sin\theta,z) = \left(1\times\cos \frac{\pi}{2},\ 1\times\sin \frac{\pi}{2},\ 0\right) = (0,1,0)$

(d) When $\theta=\pi$ , $\sin\theta=0$ and $\cos\theta=-1$ , so that the polar coordinates $r=0$ , $\theta=\pi$ , $z=1$ correspond to the Cartesian coordinates

$(x,y,z) = (r\cos\theta,r\sin\theta,z) = \left(0\times\cos\pi,\ 0\times\sin\pi,\ 1\right) = (0,0,1)$

(e) When $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $\sin\theta=\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{2}}$ , so that the polar coordinates $r=1$ , $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $z=1$ correspond to the Cartesian coordinates

$(x,y,z) = (r\cos\theta,r\sin\theta,z) = \left(1\times\cos \frac{\pi}{4},\ 1\times\sin \frac{\pi}{4},\ 1\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},1\right)$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 3.6절 · 2번우리말 번역

다음과 같이 주어진 원기둥좌표를 갖는 점들을 그리세요.

(a) $r=1$ , $\theta=0$ , $z=0$ (b) $r=1$ , $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $z=0$ (c) $r=1$ , $\theta=\frac{\pi}{2}$ , $z=0$ (d) $r=0$ , $\theta=\pi$ , $z=1$ (e) $r=1$ , $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $z=1$

다 풀었으면 정답 확인

그림은 아래와 같다. 이 그림을 그리는 데 도움이 되도록 다음 사실들을 떠올려 보자.

원기둥좌표 $r$ 은 점에서 $z$ 축까지의 거리이다. 특히 $r=0$ 인 모든 점은 ( $\theta$ 의 값에 관계없이) $z$ 축 위에 있다.
원기둥좌표 $z$ 는 점에서 $xy$ 평면까지의 거리이다. 특히 $z=0$ 인 모든 점은 $xy$ 평면 위에 있다.

이 문제로 이어서 풀기

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산기본자동 분류