원기둥·구면좌표 삼중적분 연습문제 — CLP-3 · 3.6절 · 4번

CLP-3 · 3.6절 · 4번대학 수준우리말 번역

직교좌표를 원기둥좌표로 변환하세요.

(a) $(1,1,2)$ (b) $(-1,-1,2)$ (c) $(-1,\sqrt{3}, 0)$ (d) $(0,0,1)$

영어 원문 보기

Convert from Cartesian to cylindrical coordinates.

(a) $(1,1,2)$ (b) $(-1,-1,2)$ (c) $(-1,\sqrt{3}, 0)$ (d) $(0,0,1)$

정답·풀이 보기

(a) 원기둥좌표는 다음을 만족해야 한다.

$1=x=r\cos\theta\qquad 1=y=r\sin\theta\qquad 2=z$

따라서 $z=2$ , $r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$ 이고 $\tan\theta=\frac{y}{x} =\frac{1}{1}=1$ 이다. 모든 정수 $k$ 에 대해 $\tan\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)=1$ 임을 기억하자. $(x,y)=(1,1)$ 은 제1사분면에 있으므로 $0\le\theta\le\frac{\pi}{2}$ 이다. 따라서 $\theta=\frac{\pi}{4}$ 이다 (여기에 $2\pi$ 의 정수 배수를 더한 값도 가능하다).

(b) 원기둥좌표는 다음을 만족해야 한다.

$-1=x=r\cos\theta\qquad -1=y=r\sin\theta\qquad 2=z$

따라서 $z=2$ , $r=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$ 이고 $\tan\theta=\frac{y}{x} =\frac{-1}{-1}=1$ 이다. 모든 정수 $k$ 에 대해 $\tan\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)=1$ 임을 기억하자. $(x,y)=(-1,-1)$ 은 제3사분면에 있으므로 $\pi\le\theta\le\frac{3\pi}{2}$ 이다. 따라서 $\theta=\frac{5\pi}{4}$ 이다 (여기에 $2\pi$ 의 정수 배수를 더한 값도 가능하다).

$-1=x=r\cos\theta\qquad \sqrt{3}=y=r\sin\theta\qquad 0=z$

따라서 $z=0$ , $r=\sqrt{(-1)^2+\big(\sqrt{3}\big)^2}=2$ 이고 $\tan\theta=\frac{y}{x} =\frac{\sqrt{3}}{-1}=-\sqrt{3}$ 이다. 모든 정수 $k$ 에 대해 $\tan\left(\frac{2\pi}{3}+k\pi\right)=-\sqrt{3}$ 임을 기억하자. $(x,y)=(-1,\sqrt{3})$ 은 제2사분면에 있으므로 $\frac{\pi}{2}\le\theta\le\pi$ 이다. 따라서 $\theta=\frac{2\pi}{3}$ 이다 (여기에 $2\pi$ 의 정수 배수를 더한 값도 가능하다).

(d) 원기둥좌표는 다음을 만족해야 한다.

$0=x=r\cos\theta\qquad 0=y=r\sin\theta\qquad 1=z$

따라서 $z=1$ , $r=\sqrt{0^2+0^2}=0$ 이고 $\theta$ 는 완전히 임의의 값이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The cylindrical coordinates must obey

$1=x=r\cos\theta\qquad 1=y=r\sin\theta\qquad 2=z$

So $z=2$ , $r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$ and $\tan\theta=\frac{y}{x} =\frac{1}{1}=1$ . Recall that $\tan\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)=1$ for all integers $k$ . As $(x,y)=(1,1)$ lies in the first quadrant, $0\le\theta\le\frac{\pi}{2}$ . So $\theta=\frac{\pi}{4}$ (plus possibly any integer multiple of $2\pi$ ).

(b) The cylindrical coordinates must obey

$-1=x=r\cos\theta\qquad -1=y=r\sin\theta\qquad 2=z$

So $z=2$ , $r=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$ and $\tan\theta=\frac{y}{x} =\frac{-1}{-1}=1$ . Recall that $\tan\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)=1$ for all integers $k$ . As $(x,y)=(-1,-1)$ lies in the third quadrant, $\pi\le\theta\le\frac{3\pi}{2}$ . So $\theta=\frac{5\pi}{4}$ (plus possibly any integer multiple of $2\pi$ ).

$-1=x=r\cos\theta\qquad \sqrt{3}=y=r\sin\theta\qquad 0=z$

So $z=0$ , $r=\sqrt{(-1)^2+\big(\sqrt{3}\big)^2}=2$ and $\tan\theta=\frac{y}{x} =\frac{\sqrt{3}}{-1}=-\sqrt{3}$ . Recall that $\tan\left(\frac{2\pi}{3}+k\pi\right)=-\sqrt{3}$ for all integers $k$ . As $(x,y)=(-1,\sqrt{3})$ lies in the second quadrant, $\frac{\pi}{2}\le\theta\le\pi$ . So $\theta=\frac{2\pi}{3}$ (plus possibly any integer multiple of $2\pi$ ).

(d) The cylindrical coordinates must obey

$0=x=r\cos\theta\qquad 0=y=r\sin\theta\qquad 1=z$

So $z=1$ , $r=\sqrt{0^2+0^2}=0$ and $\theta$ is completely arbitrary.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 3.6절 · 13번우리말 번역

반지름이 $2{\rm m}$ 이고 원점을 중심으로 하는 구의 밀도가 변수 값 $\frac{5}{\sqrt{3}}(z^2+1)$ kg/ ${\rm m}^3$ 이다. 이 구에 $z$ 축을 따라 지름이 1m 인 구멍을 뚫었다.

(a) 구멍을 뚫은 뒤 구의 질량을 나타내는 삼중적분을 원기둥좌표로 세우세요. (b) 이 적분의 값을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) 원기둥좌표에서 원점을 중심으로 하고 반지름이 2 인 구의 방정식은 $r^2+z^2=2^2$ 이다. $\mathrm{d}V=r\, \mathrm{d}r\, \mathrm{d}\theta\, \mathrm{d}z$ 이고 $\mathrm{d}m =\frac{5}{\sqrt{3}}(z^2+1)r\, \mathrm{d}r\, \mathrm{d}\theta\, \mathrm{d}z$ 이며 구멍의 반지름이 $1/2$ 이므로, 적분은 다음과 같다.

$\begin{aligned} \text{질량} = \int_{1/2}^2 \mathrm{d}r \int_{-\sqrt{4-r^2}}^{\sqrt{4-r^2}} \mathrm{d}z\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\ \frac{5}{\sqrt{3}}(z^2+1)r \end{aligned}$

(b) (a)에 의해

$\begin{aligned} \text{질량} = \int_{1/2}^2 \mathrm{d}r \int_{-\sqrt{4-r^2}}^{\sqrt{4-r^2}} \mathrm{d}z\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\ \frac{5}{\sqrt{3}}(z^2+1)r &=4\pi\frac{5}{\sqrt{3}}\int_{1/2}^2\mathrm{d}r\ r\int_0^{\sqrt{4-r^2}}\mathrm{d}z\ (z^2+1) \\ &=4\pi\frac{5}{\sqrt{3}}\int_{1/2}^2\mathrm{d}r\ r\left[\frac{z^3}{3}+z\right]_0^{\sqrt{4-r^2}} \\ &=4\pi\frac{5}{\sqrt{3}}\int_{1/2}^2\mathrm{d}r\ r\left[\frac{1}{3}{(4-r^2)}^{3/2}+{(4-r^2)}^{1/2}\right] \end{aligned}$

$s=4-r^2$ , $\mathrm{d}s=-2r\,\mathrm{d}r$ 로 치환하면 다음을 얻는다.

$\begin{aligned} \text{질량} &= 4\pi\frac{5}{\sqrt{3}}\int_{15/4}^0\frac{\mathrm{d}s}{-2}\ \left[\frac{1}{3}s^{3/2}+s^{1/2}\right] = -2\pi\frac{5}{\sqrt{3}} \left[\frac{2}{15}s^{5/2}+\frac{2}{3}s^{3/2} \right]_{15/4}^0 \\ &= 2\pi\frac{5}{\sqrt{3}} \left[\frac{2}{15}\frac{15^{5/2}}{32} +\frac{2}{3}\frac{15^{3/2}}{8}\right] \\ &=2\pi\frac{5}{\sqrt{3}} \left[\frac{1}{16}+\frac{1}{12}\right]15^{3/2} =\frac{525}{24}\sqrt{5}\pi\approx 153.7\text{kg} \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산기본자동 분류