원기둥·구면좌표 삼중적분 연습문제 — CLP-3 · 3.6절 · 13번

CLP-3 · 3.6절 · 13번대학 수준우리말 번역

반지름이 $2{\rm m}$ 이고 원점을 중심으로 하는 구의 밀도가 변수 값 $\frac{5}{\sqrt{3}}(z^2+1)$ kg/ ${\rm m}^3$ 이다. 이 구에 $z$ 축을 따라 지름이 1m 인 구멍을 뚫었다.

(a) 구멍을 뚫은 뒤 구의 질량을 나타내는 삼중적분을 원기둥좌표로 세우세요. (b) 이 적분의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

A sphere of radius $2{\rm m}$ centred on the origin has variable density $\frac{5}{\sqrt{3}}(z^2+1)$ kg/ ${\rm m}^3$ . A hole of diameter 1m is drilled through the sphere along the $z$ –axis.

(a) Set up a triple integral in cylindrical coordinates giving the mass of the sphere after the hole has been drilled. (b) Evaluate this integral.

정답·풀이 보기

(a) 원기둥좌표에서 원점을 중심으로 하고 반지름이 2 인 구의 방정식은 $r^2+z^2=2^2$ 이다. $\mathrm{d}V=r\, \mathrm{d}r\, \mathrm{d}\theta\, \mathrm{d}z$ 이고 $\mathrm{d}m =\frac{5}{\sqrt{3}}(z^2+1)r\, \mathrm{d}r\, \mathrm{d}\theta\, \mathrm{d}z$ 이며 구멍의 반지름이 $1/2$ 이므로, 적분은 다음과 같다.

$\begin{aligned} \text{질량} = \int_{1/2}^2 \mathrm{d}r \int_{-\sqrt{4-r^2}}^{\sqrt{4-r^2}} \mathrm{d}z\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\ \frac{5}{\sqrt{3}}(z^2+1)r \end{aligned}$

(b) (a)에 의해

$\begin{aligned} \text{질량} = \int_{1/2}^2 \mathrm{d}r \int_{-\sqrt{4-r^2}}^{\sqrt{4-r^2}} \mathrm{d}z\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\ \frac{5}{\sqrt{3}}(z^2+1)r &=4\pi\frac{5}{\sqrt{3}}\int_{1/2}^2\mathrm{d}r\ r\int_0^{\sqrt{4-r^2}}\mathrm{d}z\ (z^2+1) \\ &=4\pi\frac{5}{\sqrt{3}}\int_{1/2}^2\mathrm{d}r\ r\left[\frac{z^3}{3}+z\right]_0^{\sqrt{4-r^2}} \\ &=4\pi\frac{5}{\sqrt{3}}\int_{1/2}^2\mathrm{d}r\ r\left[\frac{1}{3}{(4-r^2)}^{3/2}+{(4-r^2)}^{1/2}\right] \end{aligned}$

$s=4-r^2$ , $\mathrm{d}s=-2r\,\mathrm{d}r$ 로 치환하면 다음을 얻는다.

$\begin{aligned} \text{질량} &= 4\pi\frac{5}{\sqrt{3}}\int_{15/4}^0\frac{\mathrm{d}s}{-2}\ \left[\frac{1}{3}s^{3/2}+s^{1/2}\right] = -2\pi\frac{5}{\sqrt{3}} \left[\frac{2}{15}s^{5/2}+\frac{2}{3}s^{3/2} \right]_{15/4}^0 \\ &= 2\pi\frac{5}{\sqrt{3}} \left[\frac{2}{15}\frac{15^{5/2}}{32} +\frac{2}{3}\frac{15^{3/2}}{8}\right] \\ &=2\pi\frac{5}{\sqrt{3}} \left[\frac{1}{16}+\frac{1}{12}\right]15^{3/2} =\frac{525}{24}\sqrt{5}\pi\approx 153.7\text{kg} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

(a) In cylindrical coordinates the equation of a sphere of radius 2 centred on the origin is $r^2+z^2=2^2$ . Since $\mathrm{d}V=r\, \mathrm{d}r\, \mathrm{d}\theta\, \mathrm{d}z$ and $\mathrm{d}m =\frac{5}{\sqrt{3}}(z^2+1)r\, \mathrm{d}r\, \mathrm{d}\theta\, \mathrm{d}z$ and the hole has radius $1/2$ , the integral is

$\begin{aligned} \text{mass} = \int_{1/2}^2 \mathrm{d}r \int_{-\sqrt{4-r^2}}^{\sqrt{4-r^2}} \mathrm{d}z\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\ \frac{5}{\sqrt{3}}(z^2+1)r \end{aligned}$

(b) By part (a)

$\begin{aligned} \text{mass} = \int_{1/2}^2 \mathrm{d}r \int_{-\sqrt{4-r^2}}^{\sqrt{4-r^2}} \mathrm{d}z\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\ \frac{5}{\sqrt{3}}(z^2+1)r &=4\pi\frac{5}{\sqrt{3}}\int_{1/2}^2\mathrm{d}r\ r\int_0^{\sqrt{4-r^2}}\mathrm{d}z\ (z^2+1) \\ &=4\pi\frac{5}{\sqrt{3}}\int_{1/2}^2\mathrm{d}r\ r\left[\frac{z^3}{3}+z\right]_0^{\sqrt{4-r^2}} \\ &=4\pi\frac{5}{\sqrt{3}}\int_{1/2}^2\mathrm{d}r\ r\left[\frac{1}{3}{(4-r^2)}^{3/2}+{(4-r^2)}^{1/2}\right] \end{aligned}$

Make the change of variables $s=4-r^2$ , $\mathrm{d}s=-2r\,\mathrm{d}r$ . This gives

$\begin{aligned} \text{mass} &= 4\pi\frac{5}{\sqrt{3}}\int_{15/4}^0\frac{\mathrm{d}s}{-2}\ \left[\frac{1}{3}s^{3/2}+s^{1/2}\right] = -2\pi\frac{5}{\sqrt{3}} \left[\frac{2}{15}s^{5/2}+\frac{2}{3}s^{3/2} \right]_{15/4}^0 \\ &= 2\pi\frac{5}{\sqrt{3}} \left[\frac{2}{15}\frac{15^{5/2}}{32} +\frac{2}{3}\frac{15^{3/2}}{8}\right] \\ &=2\pi\frac{5}{\sqrt{3}} \left[\frac{1}{16}+\frac{1}{12}\right]15^{3/2} =\frac{525}{24}\sqrt{5}\pi\approx 153.7\text{kg} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 3.6절 · 3번우리말 번역

원기둥좌표를 직교좌표로 바꾸세요.

(a) $r=1$ , $\theta=0$ , $z=0$ (b) $r=1$ , $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $z=0$ (c) $r=1$ , $\theta=\frac{\pi}{2}$ , $z=0$ (d) $r=0$ , $\theta=\pi$ , $z=1$ (e) $r=1$ , $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $z=1$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

다 풀었으면 정답 확인

(a) $\theta=0$ 일 때 $\sin\theta=0$ 이고 $\cos\theta=1$ 이므로, 극좌표 $r=1$ , $\theta=0$ , $z=0$ 은 다음 직교좌표에 대응한다.

$(x,y,z) = (r\cos\theta,r\sin\theta,z) = (1\times\cos 0,\ 1\times\sin 0,\ 0) =(1,0,0)$

(b) $\theta=\frac{\pi}{4}$ 일 때 $\sin\theta=\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{2}}$ 이므로, 극좌표 $r=1$ , $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $z=0$ 은 다음 직교좌표에 대응한다.

$(x,y,z) = (r\cos\theta,r\sin\theta,z) = \left(1\times\cos \frac{\pi}{4},\ 1\times\sin \frac{\pi}{4},\ 0\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0\right)$

(c) $\theta=\frac{\pi}{2}$ 일 때 $\sin\theta=1$ 이고 $\cos\theta=0$ 이므로, 극좌표 $r=1$ , $\theta=\frac{\pi}{2}$ , $z=0$ 은 다음 직교좌표에 대응한다.

$(x,y,z) = (r\cos\theta,r\sin\theta,z) = \left(1\times\cos \frac{\pi}{2},\ 1\times\sin \frac{\pi}{2},\ 0\right) = (0,1,0)$

(d) $\theta=\pi$ 일 때 $\sin\theta=0$ 이고 $\cos\theta=-1$ 이므로, 극좌표 $r=0$ , $\theta=\pi$ , $z=1$ 은 다음 직교좌표에 대응한다.

$(x,y,z) = (r\cos\theta,r\sin\theta,z) = \left(0\times\cos\pi,\ 0\times\sin\pi,\ 1\right) = (0,0,1)$

(e) $\theta=\frac{\pi}{4}$ 일 때 $\sin\theta=\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{2}}$ 이므로, 극좌표 $r=1$ , $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $z=1$ 은 다음 직교좌표에 대응한다.

$(x,y,z) = (r\cos\theta,r\sin\theta,z) = \left(1\times\cos \frac{\pi}{4},\ 1\times\sin \frac{\pi}{4},\ 1\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},1\right)$

이 문제로 이어서 풀기

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산보통자동 분류