빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다중적분

원기둥·구면좌표 삼중적분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 3.6절 · 5번대학 수준우리말 번역

다음 방정식을 원기둥좌표로 나타내세요.

(a) z=2xyz=2xy (b) x2+y2+z2=1x^2+y^2+z^2=1 (c) (x−1)2+y2=1(x-1)^2 + y^2 =1

영어 원문 보기

Rewrite the following equations in cylindrical coordinates.

(a) z=2xyz=2xy (b) x2+y2+z2=1x^2+y^2+z^2=1 (c) (x−1)2+y2=1(x-1)^2 + y^2 =1

정답·풀이 보기

(a) x=rcos⁡θx=r\cos\theta 이고 y=rsin⁡θy=r\sin\theta 이므로,

z=2xy  ⟺  z=2r2cos⁡θsin⁡θ=r2sin⁡(2θ)z=2xy \iff z=2r^2\cos\theta\sin\theta = r^2\sin(2\theta)

(b) x=rcos⁡θx=r\cos\theta 이고 y=rsin⁡θy=r\sin\theta 이므로,

x2+y2+z2=1  ⟺  r2cos⁡2θ+r2sin⁡2θ+z2=1  ⟺  r2+z2=1x^2+y^2+z^2=1 \iff r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta + z^2 =1 \iff r^2+z^2=1

(c) x=rcos⁡θx=r\cos\theta 이고 y=rsin⁡θy=r\sin\theta 이므로,

(x−1)2+y2=1  ⟺  (rcos⁡θ−1)2+(rsin⁡θ)2=1  ⟺  r2cos⁡2θ−2rcos⁡θ+1+r2sin⁡2θ=1  ⟺  r2=2rcos⁡θ  ⟺  r=2cos⁡θ 또는 r=0  ⟺  r=2cos⁡θ\begin{aligned} (x-1)^2 + y^2 =1 &\iff (r\cos\theta-1)^2 + (r\sin\theta)^2 =1 \\ &\iff r^2\cos^2\theta -2r\cos\theta +1 + r^2\sin^2\theta = 1 \\ &\iff r^2=2r\cos\theta \iff r=2\cos\theta\text{ 또는 }r=0 \\ &\iff r=2\cos\theta \end{aligned}

해 r=0r=0 은 r=2cos⁡θr=2\cos\theta 에 포함된다. θ=π2\theta=\frac{\pi}{2} 로 택하면 된다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) As x=rcos⁡θx=r\cos\theta and y=rsin⁡θy=r\sin\theta,

z=2xy  ⟺  z=2r2cos⁡θsin⁡θ=r2sin⁡(2θ)z=2xy \iff z=2r^2\cos\theta\sin\theta = r^2\sin(2\theta)

(b) As x=rcos⁡θx=r\cos\theta and y=rsin⁡θy=r\sin\theta,

x2+y2+z2=1  ⟺  r2cos⁡2θ+r2sin⁡2θ+z2=1  ⟺  r2+z2=1x^2+y^2+z^2=1 \iff r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta + z^2 =1 \iff r^2+z^2=1

(c) As x=rcos⁡θx=r\cos\theta and y=rsin⁡θy=r\sin\theta,

(x−1)2+y2=1  ⟺  (rcos⁡θ−1)2+(rsin⁡θ)2=1  ⟺  r2cos⁡2θ−2rcos⁡θ+1+r2sin⁡2θ=1  ⟺  r2=2rcos⁡θ  ⟺  r=2cos⁡θ or r=0  ⟺  r=2cos⁡θ\begin{aligned} (x-1)^2 + y^2 =1 &\iff (r\cos\theta-1)^2 + (r\sin\theta)^2 =1 \\ &\iff r^2\cos^2\theta -2r\cos\theta +1 + r^2\sin^2\theta = 1 \\ &\iff r^2=2r\cos\theta \iff r=2\cos\theta\text{ or }r=0 \\ &\iff r=2\cos\theta \end{aligned}

Note that the solution r=0r=0 is included in r=2cos⁡θr=2\cos\theta — just choose θ=π2\theta=\frac{\pi}{2}.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 3.6절 · 12번우리말 번역

점 (x,y,z)(x,y,z) 에서의 밀도가 ρ(x,y,z)\rho(x,y,z) (단위 부피당 질량의 단위)인 물체 BB 의 무게중심 (xˉ,yˉ,zˉ)(\bar x,\bar y, \bar z) 는 다음과 같이 정의한다.

xˉ=1M∭Bxρ(x,y,z) dVyˉ=1M∭Byρ(x,y,z) dVzˉ=1M∭Bzρ(x,y,z) dV\bar x=\frac{1}{M}\iiint _B x\rho(x,y,z)\ \mathrm{d}V\quad \bar y=\frac{1}{M}\iiint _B y\rho(x,y,z)\ \mathrm{d}V\quad \bar z=\frac{1}{M}\iiint _B z\rho(x,y,z)\ \mathrm{d}V

여기서

M=∭Bρ(x,y,z) dVM=\iiint _B \rho(x,y,z)\ \mathrm{d}V

는 물체의 질량이다. 따라서 예를 들어 xˉ\bar x 는 물체 전체에 대한 xx 의 가중평균이다. 밀도 ρ\rho 가 상수라고 가정할 때, 속이 찬 공 x2+y2+z2≤a2x^2+y^2+z^2\le a^2 중에서 x≥0x\ge 0, y≥0y\ge 0, z≥0z\ge 0 인 부분의 무게중심을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

대칭성에 의해 xˉ=yˉ=zˉ\bar x=\bar y=\bar z 이므로, 예를 들어 zˉ\bar z 만 계산하면 충분하다. 물체의 질량은 밀도 ρ\rho 와 부피의 곱이며, 부피는 구의 부피의 8분의 1이다. 따라서

M=ρ8 43πa3M=\frac{\rho}{8}\ \frac{4}{3}\pi a^3

원기둥좌표에서 이 물체의 구면의 방정식은 r2+z2=a2r^2+z^2=a^2 이다. xyxy평면으로부터 높이 zz 에 있는 물체의 단면은 반지름이 a2−z2\sqrt{a^2-z^2} 인 원판의 4분의 1이다. zˉ\bar z 의 분자는

∭Bzρ dV=ρ∫0adz∫0π/2dθ∫0a2−z2dr r z=ρ∫0adz∫0π/2dθ z r22∣0a2−z2=ρ2∫0adz∫0π/2dθ z(a2−z2)=π4ρ∫0adz z(a2−z2)=π4ρ[a2z22−z44]0a=π16ρa4\begin{aligned} \iiint _B z\rho\ \mathrm{d}V &=\rho\int_0^a \mathrm{d}z\int_0^{\pi/2}d\theta\int_0^{\sqrt{a^2-z^2}}dr\ r\ z &&=\rho\int_0^a \mathrm{d}z\int_0^{\pi/2}d\theta\ z\ \frac{r^2}{2} \bigg|_0^{\sqrt{a^2-z^2}} \\ &=\frac{\rho}{2}\int_0^a \mathrm{d}z\int_0^{\pi/2}d\theta\ z(a^2-z^2) &&=\frac{\pi}{4}\rho\int_0^a \mathrm{d}z\ z(a^2-z^2) \\ &=\frac{\pi}{4}\rho\left[a^2\frac{z^2}{2}-\frac{z^4}{4}\right]_0^a =\frac{\pi}{16}\rho a^4 \end{aligned}

이를 M=π6ρa3M=\frac{\pi}{6}\rho a^3 으로 나누면 xˉ=yˉ=zˉ=38a\bar x=\bar y=\bar z=\frac{3}{8}a 를 얻는다.

이 문제로 이어서 풀기
# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산기본자동 분류

「원기둥·구면좌표 삼중적분」 문제 목록으로