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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다중적분

원기둥·구면좌표 삼중적분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 3.6절 · 12번대학 수준우리말 번역

점 (x,y,z)(x,y,z) 에서의 밀도가 ρ(x,y,z)\rho(x,y,z) (단위 부피당 질량의 단위)인 물체 BB 의 무게중심 (xˉ,yˉ,zˉ)(\bar x,\bar y, \bar z) 는 다음과 같이 정의한다.

xˉ=1M∭Bxρ(x,y,z) dVyˉ=1M∭Byρ(x,y,z) dVzˉ=1M∭Bzρ(x,y,z) dV\bar x=\frac{1}{M}\iiint _B x\rho(x,y,z)\ \mathrm{d}V\quad \bar y=\frac{1}{M}\iiint _B y\rho(x,y,z)\ \mathrm{d}V\quad \bar z=\frac{1}{M}\iiint _B z\rho(x,y,z)\ \mathrm{d}V

여기서

M=∭Bρ(x,y,z) dVM=\iiint _B \rho(x,y,z)\ \mathrm{d}V

는 물체의 질량이다. 따라서 예를 들어 xˉ\bar x 는 물체 전체에 대한 xx 의 가중평균이다. 밀도 ρ\rho 가 상수라고 가정할 때, 속이 찬 공 x2+y2+z2≤a2x^2+y^2+z^2\le a^2 중에서 x≥0x\ge 0, y≥0y\ge 0, z≥0z\ge 0 인 부분의 무게중심을 구하세요.

영어 원문 보기

The centre of mass (xˉ,yˉ,zˉ)(\bar x,\bar y, \bar z) of a body BB having density ρ(x,y,z)\rho(x,y,z) (units of mass per unit volume) at (x,y,z)(x,y,z) is defined to be

xˉ=1M∭Bxρ(x,y,z) dVyˉ=1M∭Byρ(x,y,z) dVzˉ=1M∭Bzρ(x,y,z) dV\bar x=\frac{1}{M}\iiint _B x\rho(x,y,z)\ \mathrm{d}V\quad \bar y=\frac{1}{M}\iiint _B y\rho(x,y,z)\ \mathrm{d}V\quad \bar z=\frac{1}{M}\iiint _B z\rho(x,y,z)\ \mathrm{d}V

where

M=∭Bρ(x,y,z) dVM=\iiint _B \rho(x,y,z)\ \mathrm{d}V

is the mass of the body. So, for example, xˉ\bar x is the weighted average of xx over the body. Find the centre of mass of the part of the solid ball x2+y2+z2≤a2x^2+y^2+z^2\le a^2 with x≥0x\ge 0, y≥0y\ge 0 and z≥0z\ge 0, assuming that the density ρ\rho is constant.

정답·풀이 보기

대칭성에 의해 xˉ=yˉ=zˉ\bar x=\bar y=\bar z 이므로, 예를 들어 zˉ\bar z 만 계산하면 충분하다. 물체의 질량은 밀도 ρ\rho 와 부피의 곱이며, 부피는 구의 부피의 8분의 1이다. 따라서

M=ρ8 43πa3M=\frac{\rho}{8}\ \frac{4}{3}\pi a^3

원기둥좌표에서 이 물체의 구면의 방정식은 r2+z2=a2r^2+z^2=a^2 이다. xyxy평면으로부터 높이 zz 에 있는 물체의 단면은 반지름이 a2−z2\sqrt{a^2-z^2} 인 원판의 4분의 1이다. zˉ\bar z 의 분자는

∭Bzρ dV=ρ∫0adz∫0π/2dθ∫0a2−z2dr r z=ρ∫0adz∫0π/2dθ z r22∣0a2−z2=ρ2∫0adz∫0π/2dθ z(a2−z2)=π4ρ∫0adz z(a2−z2)=π4ρ[a2z22−z44]0a=π16ρa4\begin{aligned} \iiint _B z\rho\ \mathrm{d}V &=\rho\int_0^a \mathrm{d}z\int_0^{\pi/2}d\theta\int_0^{\sqrt{a^2-z^2}}dr\ r\ z &&=\rho\int_0^a \mathrm{d}z\int_0^{\pi/2}d\theta\ z\ \frac{r^2}{2} \bigg|_0^{\sqrt{a^2-z^2}} \\ &=\frac{\rho}{2}\int_0^a \mathrm{d}z\int_0^{\pi/2}d\theta\ z(a^2-z^2) &&=\frac{\pi}{4}\rho\int_0^a \mathrm{d}z\ z(a^2-z^2) \\ &=\frac{\pi}{4}\rho\left[a^2\frac{z^2}{2}-\frac{z^4}{4}\right]_0^a =\frac{\pi}{16}\rho a^4 \end{aligned}

이를 M=π6ρa3M=\frac{\pi}{6}\rho a^3 으로 나누면 xˉ=yˉ=zˉ=38a\bar x=\bar y=\bar z=\frac{3}{8}a 를 얻는다.

원본 교재 풀이(영어)

By symmetry, xˉ=yˉ=zˉ\bar x=\bar y=\bar z, so it suffices to compute, for example, zˉ\bar z. The mass of the body is the density, ρ\rho, times its volume, which is one eighth of the volume of a sphere. So

M=ρ8 43πa3M=\frac{\rho}{8}\ \frac{4}{3}\pi a^3

In cylindrical coordinates, the equation of the spherical surface of the body is r2+z2=a2r^2+z^2=a^2. The part of the body at height zz above the xyxy–plane is one quarter of a disk of radius a2−z2\sqrt{a^2-z^2}. The numerator of zˉ\bar z is

∭Bzρ dV=ρ∫0adz∫0π/2dθ∫0a2−z2dr r z=ρ∫0adz∫0π/2dθ z r22∣0a2−z2=ρ2∫0adz∫0π/2dθ z(a2−z2)=π4ρ∫0adz z(a2−z2)=π4ρ[a2z22−z44]0a=π16ρa4\begin{aligned} \iiint _B z\rho\ \mathrm{d}V &=\rho\int_0^a \mathrm{d}z\int_0^{\pi/2}d\theta\int_0^{\sqrt{a^2-z^2}}dr\ r\ z &&=\rho\int_0^a \mathrm{d}z\int_0^{\pi/2}d\theta\ z\ \frac{r^2}{2} \bigg|_0^{\sqrt{a^2-z^2}} \\ &=\frac{\rho}{2}\int_0^a \mathrm{d}z\int_0^{\pi/2}d\theta\ z(a^2-z^2) &&=\frac{\pi}{4}\rho\int_0^a \mathrm{d}z\ z(a^2-z^2) \\ &=\frac{\pi}{4}\rho\left[a^2\frac{z^2}{2}-\frac{z^4}{4}\right]_0^a =\frac{\pi}{16}\rho a^4 \end{aligned}

Dividing by M=π6ρa3M=\frac{\pi}{6}\rho a^3 gives xˉ=yˉ=zˉ=38a\bar x=\bar y=\bar z=\frac{3}{8}a.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 3.6절 · 4번우리말 번역

직교좌표를 원기둥좌표로 변환하세요.

(a) (1,1,2)(1,1,2) (b) (−1,−1,2)(-1,-1,2) (c) (−1,3,0)(-1,\sqrt{3}, 0) (d) (0,0,1)(0,0,1)

다 풀었으면 정답 확인

(a) 원기둥좌표는 다음을 만족해야 한다.

1=x=rcos⁡θ1=y=rsin⁡θ2=z1=x=r\cos\theta\qquad 1=y=r\sin\theta\qquad 2=z

따라서 z=2z=2, r=12+12=2r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2} 이고 tan⁡θ=yx=11=1\tan\theta=\frac{y}{x} =\frac{1}{1}=1 이다. 모든 정수 kk 에 대해 tan⁡(π4+kπ)=1\tan\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)=1 임을 기억하자. (x,y)=(1,1)(x,y)=(1,1) 은 제1사분면에 있으므로 0≤θ≤π20\le\theta\le\frac{\pi}{2} 이다. 따라서 θ=π4\theta=\frac{\pi}{4} 이다 (여기에 2π2\pi의 정수 배수를 더한 값도 가능하다).

(b) 원기둥좌표는 다음을 만족해야 한다.

−1=x=rcos⁡θ−1=y=rsin⁡θ2=z-1=x=r\cos\theta\qquad -1=y=r\sin\theta\qquad 2=z

따라서 z=2z=2, r=(−1)2+(−1)2=2r=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{2} 이고 tan⁡θ=yx=−1−1=1\tan\theta=\frac{y}{x} =\frac{-1}{-1}=1 이다. 모든 정수 kk 에 대해 tan⁡(π4+kπ)=1\tan\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)=1 임을 기억하자. (x,y)=(−1,−1)(x,y)=(-1,-1) 은 제3사분면에 있으므로 π≤θ≤3π2\pi\le\theta\le\frac{3\pi}{2} 이다. 따라서 θ=5π4\theta=\frac{5\pi}{4} 이다 (여기에 2π2\pi의 정수 배수를 더한 값도 가능하다).

(c) 원기둥좌표는 다음을 만족해야 한다.

−1=x=rcos⁡θ3=y=rsin⁡θ0=z-1=x=r\cos\theta\qquad \sqrt{3}=y=r\sin\theta\qquad 0=z

따라서 z=0z=0, r=(−1)2+(3)2=2r=\sqrt{(-1)^2+\big(\sqrt{3}\big)^2}=2 이고 tan⁡θ=yx=3−1=−3\tan\theta=\frac{y}{x} =\frac{\sqrt{3}}{-1}=-\sqrt{3} 이다. 모든 정수 kk 에 대해 tan⁡(2π3+kπ)=−3\tan\left(\frac{2\pi}{3}+k\pi\right)=-\sqrt{3} 임을 기억하자. (x,y)=(−1,3)(x,y)=(-1,\sqrt{3}) 은 제2사분면에 있으므로 π2≤θ≤π\frac{\pi}{2}\le\theta\le\pi 이다. 따라서 θ=2π3\theta=\frac{2\pi}{3} 이다 (여기에 2π2\pi의 정수 배수를 더한 값도 가능하다).

(d) 원기둥좌표는 다음을 만족해야 한다.

0=x=rcos⁡θ0=y=rsin⁡θ1=z0=x=r\cos\theta\qquad 0=y=r\sin\theta\qquad 1=z

따라서 z=1z=1, r=02+02=0r=\sqrt{0^2+0^2}=0 이고 θ\theta 는 완전히 임의의 값이다.

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