원기둥·구면좌표 삼중적분 연습문제 — CLP-3 · 3.6절 · 9번

CLP-3 · 3.6절 · 9번대학 수준우리말 번역

두 곡면 $z = x^2 + y^2$ 과 $x^2 + y^2 + z^2 = 6$ 으로 둘러싸인 두 입체 영역 중 작은 쪽을 $E$ 라 하자. $\iiint _E (x^2+y^2)\ \mathrm{d}V$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Let $E$ be the smaller of the two solid regions bounded by the surfaces $z = x^2 + y^2$ and $x^2 + y^2 + z^2 = 6$ . Evaluate $\iiint _E (x^2+y^2)\ \mathrm{d}V$ .

정답·풀이 보기

두 곡면은 모두 $z$ 축을 중심으로 한 회전에 대해 변하지 않는다. 다음은 $E$ 의 $y=0$ 단면의 개략도이다.

곡면 $z = x^2 + y^2$ 과 $x^2 + y^2 + z^2 = 6$ 은 $z=x^2+y^2$ 이고

$z+z^2=6 \iff z^2+z-6=0 \iff(z+3)(z-2)=0$

일 때 만난다. $z=x^2+y^2\ge 0$ 이므로 두 곡면은 원 $z=2$ , $x^2+y^2=2$ 에서 만난다. 따라서

$E = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2\le 2,\ x^2+y^2\le z\le \sqrt{6-x^2-y^2}\ \big\}$

적분을 하기 위해 원기둥좌표를 사용하자. 원기둥좌표에서

$E = \big\{ \ (r\cos\theta,r\sin\theta,z)\ \big|\ r\le \sqrt{2},\ 0\le\theta\le 2\pi,\ r^2\le z\le \sqrt{6-r^2}\ \big\}$ 이고,
$\mathrm{d}V$ 는 $r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z$ 이므로

$\begin{aligned} \iiint _E (x^2+y^2)\ \mathrm{d}V &=\int_0^{\sqrt{2}}\mathrm{d}r \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_{r^2}^{\sqrt{6-r^2}} \mathrm{d}z\ r\ r^2 \\ &=2\pi\int_0^{\sqrt{2}}\mathrm{d}r \ r^3\big(\sqrt{6-r^2}-r^2\big) =2\pi\int_0^{\sqrt{2}}\mathrm{d}r\,r\ r^2\sqrt{6-r^2} - 2\pi\int_0^{\sqrt{2}}\mathrm{d}r \ r^5\\ &=2\pi\int_6^4\frac{\mathrm{d}u}{-2} \ (6-u)\sqrt{u} -2\pi\frac{2^3}{6} \qquad\text{여기서 } u = 6-r^2,\ \mathrm{d}u = -2r\,\mathrm{d}r \\ &=-\pi\left[6\frac{u^{3/2}}{3/2}-\frac{u^{5/2}}{5/2}\right]_6^4-\frac{8\pi}{3}\\ &=-\pi\left[4\big(8-6\sqrt{6}\big)-\frac{2}{5}\big(32-36\sqrt{6}\big)\right] -\frac{8\pi}{3}\\ &=\pi\left[\frac{64}{5}-32-\frac{8}{3} +\left(24-\frac{72}{5}\right)\sqrt{6}\right] \\ &=\pi\left[\frac{48}{5}\sqrt{6}-\frac{328}{15}\right] \approx 1.65\pi \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Note that both surfaces are invariant under rotations about the $z$ –axis. Here is a sketch of the $y=0$ cross section of E.

The surfaces $z = x^2 + y^2$ and $x^2 + y^2 + z^2 = 6$ intersect when $z=x^2+y^2$ and

$z+z^2=6 \iff z^2+z-6=0 \iff(z+3)(z-2)=0$

Since $z=x^2+y^2\ge 0$ , the surfaces intersect on the circle $z=2$ , $x^2+y^2=2$ . So

$E = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2\le 2,\ x^2+y^2\le z\le \sqrt{6-x^2-y^2}\ \big\}$

Let's use cylindrical coordinates to do the integral. In cylindrical coordinates

$E = \big\{ \ (r\cos\theta,r\sin\theta,z)\ \big|\ r\le \sqrt{2},\ 0\le\theta\le 2\pi,\ r^2\le z\le \sqrt{6-r^2}\ \big\}$ , and
$\mathrm{d}V$ is $r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z$

$\begin{aligned} \iiint _E (x^2+y^2)\ \mathrm{d}V &=\int_0^{\sqrt{2}}\mathrm{d}r \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_{r^2}^{\sqrt{6-r^2}} \mathrm{d}z\ r\ r^2 \\ &=2\pi\int_0^{\sqrt{2}}\mathrm{d}r \ r^3\big(\sqrt{6-r^2}-r^2\big) =2\pi\int_0^{\sqrt{2}}\mathrm{d}r\,r\ r^2\sqrt{6-r^2} - 2\pi\int_0^{\sqrt{2}}\mathrm{d}r \ r^5\\ &=2\pi\int_6^4\frac{\mathrm{d}u}{-2} \ (6-u)\sqrt{u} -2\pi\frac{2^3}{6} \qquad\text{with } u = 6-r^2,\ \mathrm{d}u = -2r\,\mathrm{d}r \\ &=-\pi\left[6\frac{u^{3/2}}{3/2}-\frac{u^{5/2}}{5/2}\right]_6^4-\frac{8\pi}{3}\\ &=-\pi\left[4\big(8-6\sqrt{6}\big)-\frac{2}{5}\big(32-36\sqrt{6}\big)\right] -\frac{8\pi}{3}\\ &=\pi\left[\frac{64}{5}-32-\frac{8}{3} +\left(24-\frac{72}{5}\right)\sqrt{6}\right] \\ &=\pi\left[\frac{48}{5}\sqrt{6}-\frac{328}{15}\right] \approx 1.65\pi \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 3.6절 · 8번우리말 번역

$E$ 를 위로는 구면 $x^2 + y^2 + z^2 = 2$ , 아래로는 포물면 $z = x^2 + y^2$ 으로 둘러싸인 영역이라고 하자. $E$ 의 무게중심을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

구면 $x^2+y^2+z^2=2$ 와 포물면 $z=x^2+y^2$ 은 모두 $z$ 축을 중심으로 한 회전에 대해 불변임을 관찰하자. 따라서 $E$ 는 $z$ 축을 중심으로 한 회전에 대해 불변이고, $E$ 의 무게중심(질량중심)은 $z$ 축 위에 놓인다. 그러므로 $\bar x=\bar y=0$ 이고 다음을 구하기만 하면 된다.

$\begin{aligned} \bar z = \frac{\iiint _E z\ \mathrm{d}V}{\iiint _E\mathrm{d}V} \end{aligned}$

곡면 $z = x^2 + y^2$ 과 $x^2 + y^2 + z^2 = 2$ 는 $z=x^2+y^2$ 이고

$z+z^2=2 \iff z^2+z-2=0 \iff(z+2)(z-1)=0$

일 때 만난다. $z=x^2+y^2\ge 0$ 이므로 두 곡면은 원 $z=1$ , $x^2+y^2=2$ 에서 만난다. 따라서

$E = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2\le 1,\ x^2+y^2\le z\le \sqrt{2-x^2-y^2}\ \big\}$

이다.

다음은 $E$ 의 $y=0$ 단면의 개략도이다.

두 적분을 구하기 위해 원기둥좌표를 사용하자. 원기둥좌표에서

$E = \big\{ \ (r\cos\theta,r\sin\theta,z)\ \big|\ 0\le r\le 1,\ 0\le\theta\le 2\pi,\ r^2\le z\le \sqrt{2-r^2}\ \big\}$ 이고,
$\mathrm{d}V$ 는 $r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z$ 이다.

따라서 $n=0,1$ 에 대해 (두 적분을 동시에 계산해 보자)

$\begin{aligned} \iiint _E z^n\ \mathrm{d}V &=\int_0^1\mathrm{d}r \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_{r^2}^{\sqrt{2-r^2}} \mathrm{d}z\ r\ z^n \\ &=2\pi\int_0^1\mathrm{d}r \ r\begin{cases} \sqrt{2-r^2}-r^2 & \text{(}n=0\text{ 일 때)}\\ \frac{1}{2}\big(2-r^2-r^4\big) & \text{(}n=1\text{ 일 때)}\end{cases} \end{aligned}$

이다.

$\begin{aligned} \int_0^1 \mathrm{d}r\ r\sqrt{2-r^2} &=\left[-\frac{1}{3}(2-r^2)^{3/2}\right]_0^1 =\frac{1}{3}\big(2\sqrt{2}-1\big) \end{aligned}$

이므로

$\begin{aligned} \iiint _E z^n\ \mathrm{d}V =2\pi\left.\begin{cases} \frac{1}{3}(2\sqrt{2}-1)-\frac{1}{4} &\text{(}n=0\text{ 일 때)}\\ \frac{1}{2}-\frac{1}{8}-\frac{1}{12} &\text{(}n=1\text{ 일 때)}\end{cases}\right\} =2\pi\begin{cases} \frac{2}{3}\sqrt{2}-\frac{7}{12} &\text{(}n=0\text{ 일 때)}\\ \frac{7}{24} &\text{(}n=1\text{ 일 때)}\end{cases} \end{aligned}$

이고, $\bar x=\bar y=0$ 이며

$\begin{aligned} \bar z =\frac{\iiint _E z\ \mathrm{d}V}{\iiint _E\mathrm{d}V} =\frac{\frac{7}{24}}{\frac{2}{3}\sqrt{2}-\frac{7}{12}} =\frac{7}{16\sqrt{2}-14} \approx 0.811 \end{aligned}$

이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산보통자동 분류