원기둥·구면좌표 삼중적분 연습문제 — CLP-3 · 3.6절 · 15번

CLP-3 · 3.6절 · 15번대학 수준우리말 번역

$x^2 + y^2 = 4$ 의 안쪽, $z = 0$ 의 위쪽, $2z = y$ 의 아래쪽에 있는 입체의 부피를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the volume of the solid which is inside $x^2 + y^2 = 4$ , above $z = 0$ and below $2z = y$ .

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정답·풀이 보기

이 입체는 $x^2+y^2\le 4$ 이고 $0\le z\le\frac{y}{2}$ 를 만족하는 모든 점 $(x,y,z)$ 의 집합이다. 특히 $y\ge 0$ 이다. 이 입체를 위에서 내려다보면 $x^2+y^2\le 4$ 이고 $y\ge 0$ 인 모든 $(x,y)$ 가 보인다. 이는 아래 왼쪽 그림에 나타나 있다.

원기둥좌표계를 사용하자. 밑면 영역(위 왼쪽 그림에서 색칠한 영역)에서

$\theta$ 는 $0$ 에서 $\pi$ 까지 움직이고,
$0$ 과 $\pi$ 사이의 각각의 고정된 $\theta$ 에 대해 $r$ 은 $0$ 에서 $2$ 까지 움직인다.
밑면 영역 안의 각각의 고정된 점 $(x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta)$ 에 대해 $z$ 는 $0$ ) 에서 $\frac{y}{2}=\frac{r\sin\theta}{2}$ 까지 움직인다.

따라서 부피는

$\begin{aligned} \int_0^\pi \mathrm{d}\theta\int_0^2 \mathrm{d}r\int_0^{r\sin\theta/2} dz\ r &=\int_0^\pi \mathrm{d}\theta\int_0^2 \mathrm{d}r\ \frac{1}{2} r^2\sin\theta =\int_0^\pi \mathrm{d}\theta\ \frac{r^3}{6}\sin\theta\,\bigg|_0^2 =\frac{4}{3}\int_0^\pi \mathrm{d}\theta\ \sin\theta \\ &=-\frac{4}{3}\cos\theta\,\bigg|_0^\pi =\frac{8}{3} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The solid consists of the set of all points $(x,y,z)$ such that $x^2+y^2\le 4$ and $0\le z\le\frac{y}{2}$ . In particular $y\ge 0$ . When we look at the solid from above, we see all $(x,y)$ with $x^2+y^2\le 4$ and $y\ge 0$ . This is sketched in the figure on the left below.

We'll use cylindrical coordinates. In the base region (the shaded region in the figure on the left above)

$\theta$ runs from $0$ to $\pi$ and
for each fixed $\theta$ between $0$ and $\pi$ , $r$ runs from $0$ to $2$ .
For each fixed point $(x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta)$ in the base region, $z$ runs from $0$ ) to $\frac{y}{2}=\frac{r\sin\theta}{2}$ .

So the volume is

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 3.6절 · 16번우리말 번역

공간의 어떤 영역에서 수소 기체의 밀도는 다음 식으로 주어진다.

$\rho(x,y,z) =\frac{z+2x^2}{1+x^2+y^2}$

(a) $(1,0,-1)$ 에서 수소의 밀도가 가장 빠르게 증가하는 방향은 어느 쪽인지 구하세요. (b) 당신은 원점에 있는 우주선에 타고 있습니다. 이 우주선이 $\left< 0,0,1\right>$ 방향으로 날아간다고 하세요. 우주선에는 수소를 모으기 위해, 우주선을 중심으로 하고 진행 방향에 수직으로 펼쳐진 반지름 $1$ 인 원판이 달려 있습니다. 우주선이 거리 $2$ 만큼 이동했을 때까지 모은 수소의 양을 구하세요.

$\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\ \mathrm{d}\theta =\pi$ 임을 이용해도 됩니다.

다 풀었으면 정답 확인

(a) 증가율이 최대인 방향은 ${ \boldsymbol{\nabla} }\rho(1,0,-1)$ 이다. 다음이 성립하므로

$\begin{aligned} \frac{\partial \rho}{\partial x}(x,y,z) &= \frac{4x}{1+x^2+y^2} -\frac{2x(z+2x^2)}{{(1+x^2+y^2)}^2} & \frac{\partial \rho}{\partial x}(1,0,-1) &= \frac{4}{2} -\frac{2(-1+2)}{{(2)}^2} =\frac{3}{2} \\ \frac{\partial \rho}{\partial y}(x,y,z) &= -\frac{2y(z+2x^2)}{{(1+x^2+y^2)}^2} & \frac{\partial \rho}{\partial y}(1,0,-1) &= 0\\ \frac{\partial \rho}{\partial z}(x,y,z) &= \frac{1}{1+x^2+y^2} & \frac{\partial \rho}{\partial z}(1,0,-1) &= \frac{1}{2} \end{aligned}$

${ \boldsymbol{\nabla} }\rho(1,0,-1) = \frac{1}{2}(3,0,1)$ 이다. 이 방향의 단위벡터는 $\frac{1}{\sqrt{10}}(3,0,1)$ 이다.

(b) 우주선이 지나가는 영역은 원기둥좌표로 다음과 같다.

$V=\big\{ \ (r\cos\theta\,,\,r\sin\theta\,,\,z)\ \big|\ 0\le\theta\le 2\pi,\ 0\le r\le 1,\ 0\le z\le 2\ \big\}$

모은 수소의 양은 다음과 같다.

$\begin{aligned} \iiint _V \rho\ \mathrm{d}V &=\iiint _V\frac{z+2r^2\cos^2\theta}{1+r^2}r\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z \\ &=\int_0^2\mathrm{d}z \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_0^1\mathrm{d}r\ \frac{zr+(2\cos^2\theta)r^3}{1+r^2} \\ &=\int_0^2\mathrm{d}z \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_0^1\mathrm{d}r\ \left[ z \frac{r}{1+r^2} +2r\cos^2\theta -\cos^2\theta\frac{2r}{1+r^2}\right]\\ &\text{다음이 성립하므로 }\frac{r^3}{1+r^2} = \frac{r+r^3 - r}{1+r^2} =r-\frac{r}{1+r^2} \\ &=\int_0^2\mathrm{d}z \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta\ \left[\frac{z}{2}\ln(1+r^2)+r^2\cos^2\theta -\ln(1+r^2)\cos^2\theta\right]_0^1 \\ &=\int_0^2\mathrm{d}z \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta\ \left[\frac{\ln 2}{2} z+ \cos^2\theta -\ln(2)\cos^2\theta\right] \\ &=\int_0^2\mathrm{d}z \ \left[(\pi\ln 2) z+ \pi-\pi\ln 2\right] \\ &= 2\pi\ln 2 +2\pi -2\pi\ln 2 \\ &=2\pi \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 원기둥·구면좌표 삼중적분활용보통자동 분류