빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다중적분

원기둥·구면좌표 삼중적분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 3.6절 · 16번대학 수준우리말 번역

공간의 어떤 영역에서 수소 기체의 밀도는 다음 식으로 주어진다.

ρ(x,y,z)=z+2x21+x2+y2\rho(x,y,z) =\frac{z+2x^2}{1+x^2+y^2}

(a) (1,0,−1)(1,0,-1) 에서 수소의 밀도가 가장 빠르게 증가하는 방향은 어느 쪽인지 구하세요. (b) 당신은 원점에 있는 우주선에 타고 있습니다. 이 우주선이 <0,0,1>\left< 0,0,1\right> 방향으로 날아간다고 하세요. 우주선에는 수소를 모으기 위해, 우주선을 중심으로 하고 진행 방향에 수직으로 펼쳐진 반지름 11 인 원판이 달려 있습니다. 우주선이 거리 22 만큼 이동했을 때까지 모은 수소의 양을 구하세요.

∫02πcos⁡2θ dθ=π\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\ \mathrm{d}\theta =\pi 임을 이용해도 됩니다.

영어 원문 보기

The density of hydrogen gas in a region of space is given by the formula

ρ(x,y,z)=z+2x21+x2+y2\rho(x,y,z) =\frac{z+2x^2}{1+x^2+y^2}

(a) At (1,0,−1)(1,0,-1), in which direction is the density of hydrogen increasing most rapidly? (b) You are in a spacecraft at the origin. Suppose the spacecraft flies in the direction of <0,0,1>\left< 0,0,1\right>. It has a disc of radius 11, centred on the spacecraft and deployed perpendicular to the direction of travel, to catch hydrogen. How much hydrogen has been collected by the time that the spacecraft has traveled a distance 22?

You may use the fact that ∫02πcos⁡2θ dθ=π\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\ \mathrm{d}\theta =\pi.

정답·풀이 보기

(a) 증가율이 최대인 방향은 ∇ρ(1,0,−1){ \boldsymbol{\nabla} }\rho(1,0,-1) 이다. 다음이 성립하므로

∂ρ∂x(x,y,z)=4x1+x2+y2−2x(z+2x2)(1+x2+y2)2∂ρ∂x(1,0,−1)=42−2(−1+2)(2)2=32∂ρ∂y(x,y,z)=−2y(z+2x2)(1+x2+y2)2∂ρ∂y(1,0,−1)=0∂ρ∂z(x,y,z)=11+x2+y2∂ρ∂z(1,0,−1)=12\begin{aligned} \frac{\partial \rho}{\partial x}(x,y,z) &= \frac{4x}{1+x^2+y^2} -\frac{2x(z+2x^2)}{{(1+x^2+y^2)}^2} & \frac{\partial \rho}{\partial x}(1,0,-1) &= \frac{4}{2} -\frac{2(-1+2)}{{(2)}^2} =\frac{3}{2} \\ \frac{\partial \rho}{\partial y}(x,y,z) &= -\frac{2y(z+2x^2)}{{(1+x^2+y^2)}^2} & \frac{\partial \rho}{\partial y}(1,0,-1) &= 0\\ \frac{\partial \rho}{\partial z}(x,y,z) &= \frac{1}{1+x^2+y^2} & \frac{\partial \rho}{\partial z}(1,0,-1) &= \frac{1}{2} \end{aligned}

∇ρ(1,0,−1)=12(3,0,1){ \boldsymbol{\nabla} }\rho(1,0,-1) = \frac{1}{2}(3,0,1) 이다. 이 방향의 단위벡터는 110(3,0,1)\frac{1}{\sqrt{10}}(3,0,1) 이다.

(b) 우주선이 지나가는 영역은 원기둥좌표로 다음과 같다.

V={ (rcos⁡θ , rsin⁡θ , z) ∣ 0≤θ≤2π, 0≤r≤1, 0≤z≤2 }V=\big\{ \ (r\cos\theta\,,\,r\sin\theta\,,\,z)\ \big|\ 0\le\theta\le 2\pi,\ 0\le r\le 1,\ 0\le z\le 2\ \big\}

모은 수소의 양은 다음과 같다.

∭Vρ dV=∭Vz+2r2cos⁡2θ1+r2rdr dθ dz=∫02dz∫02πdθ∫01dr zr+(2cos⁡2θ)r31+r2=∫02dz∫02πdθ∫01dr [zr1+r2+2rcos⁡2θ−cos⁡2θ2r1+r2]다음이 성립하므로 r31+r2=r+r3−r1+r2=r−r1+r2=∫02dz∫02πdθ [z2ln⁡(1+r2)+r2cos⁡2θ−ln⁡(1+r2)cos⁡2θ]01=∫02dz∫02πdθ [ln⁡22z+cos⁡2θ−ln⁡(2)cos⁡2θ]=∫02dz [(πln⁡2)z+π−πln⁡2]=2πln⁡2+2π−2πln⁡2=2π\begin{aligned} \iiint _V \rho\ \mathrm{d}V &=\iiint _V\frac{z+2r^2\cos^2\theta}{1+r^2}r\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z \\ &=\int_0^2\mathrm{d}z \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_0^1\mathrm{d}r\ \frac{zr+(2\cos^2\theta)r^3}{1+r^2} \\ &=\int_0^2\mathrm{d}z \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_0^1\mathrm{d}r\ \left[ z \frac{r}{1+r^2} +2r\cos^2\theta -\cos^2\theta\frac{2r}{1+r^2}\right]\\ &\text{다음이 성립하므로 }\frac{r^3}{1+r^2} = \frac{r+r^3 - r}{1+r^2} =r-\frac{r}{1+r^2} \\ &=\int_0^2\mathrm{d}z \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta\ \left[\frac{z}{2}\ln(1+r^2)+r^2\cos^2\theta -\ln(1+r^2)\cos^2\theta\right]_0^1 \\ &=\int_0^2\mathrm{d}z \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta\ \left[\frac{\ln 2}{2} z+ \cos^2\theta -\ln(2)\cos^2\theta\right] \\ &=\int_0^2\mathrm{d}z \ \left[(\pi\ln 2) z+ \pi-\pi\ln 2\right] \\ &= 2\pi\ln 2 +2\pi -2\pi\ln 2 \\ &=2\pi \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

(a) The direction of maximum rate of increase is ∇ρ(1,0,−1){ \boldsymbol{\nabla} }\rho(1,0,-1). As

∂ρ∂x(x,y,z)=4x1+x2+y2−2x(z+2x2)(1+x2+y2)2∂ρ∂x(1,0,−1)=42−2(−1+2)(2)2=32∂ρ∂y(x,y,z)=−2y(z+2x2)(1+x2+y2)2∂ρ∂y(1,0,−1)=0∂ρ∂z(x,y,z)=11+x2+y2∂ρ∂z(1,0,−1)=12\begin{aligned} \frac{\partial \rho}{\partial x}(x,y,z) &= \frac{4x}{1+x^2+y^2} -\frac{2x(z+2x^2)}{{(1+x^2+y^2)}^2} & \frac{\partial \rho}{\partial x}(1,0,-1) &= \frac{4}{2} -\frac{2(-1+2)}{{(2)}^2} =\frac{3}{2} \\ \frac{\partial \rho}{\partial y}(x,y,z) &= -\frac{2y(z+2x^2)}{{(1+x^2+y^2)}^2} & \frac{\partial \rho}{\partial y}(1,0,-1) &= 0\\ \frac{\partial \rho}{\partial z}(x,y,z) &= \frac{1}{1+x^2+y^2} & \frac{\partial \rho}{\partial z}(1,0,-1) &= \frac{1}{2} \end{aligned}

So ∇ρ(1,0,−1)=12(3,0,1){ \boldsymbol{\nabla} }\rho(1,0,-1) = \frac{1}{2}(3,0,1). The unit vector in this direction is 110(3,0,1)\frac{1}{\sqrt{10}}(3,0,1).

(b) The region swept by the space craft is, in cylindrical coordinates,

V={ (rcos⁡θ , rsin⁡θ , z) ∣ 0≤θ≤2π, 0≤r≤1, 0≤z≤2 }V=\big\{ \ (r\cos\theta\,,\,r\sin\theta\,,\,z)\ \big|\ 0\le\theta\le 2\pi,\ 0\le r\le 1,\ 0\le z\le 2\ \big\}

and the amount of hydrogen collected is

∭Vρ dV=∭Vz+2r2cos⁡2θ1+r2rdr dθ dz=∫02dz∫02πdθ∫01dr zr+(2cos⁡2θ)r31+r2=∫02dz∫02πdθ∫01dr [zr1+r2+2rcos⁡2θ−cos⁡2θ2r1+r2]since r31+r2=r+r3−r1+r2=r−r1+r2=∫02dz∫02πdθ [z2ln⁡(1+r2)+r2cos⁡2θ−ln⁡(1+r2)cos⁡2θ]01=∫02dz∫02πdθ [ln⁡22z+cos⁡2θ−ln⁡(2)cos⁡2θ]=∫02dz [(πln⁡2)z+π−πln⁡2]=2πln⁡2+2π−2πln⁡2=2π\begin{aligned} \iiint _V \rho\ \mathrm{d}V &=\iiint _V\frac{z+2r^2\cos^2\theta}{1+r^2}r\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z \\ &=\int_0^2\mathrm{d}z \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_0^1\mathrm{d}r\ \frac{zr+(2\cos^2\theta)r^3}{1+r^2} \\ &=\int_0^2\mathrm{d}z \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_0^1\mathrm{d}r\ \left[ z \frac{r}{1+r^2} +2r\cos^2\theta -\cos^2\theta\frac{2r}{1+r^2}\right]\\ &\text{since }\frac{r^3}{1+r^2} = \frac{r+r^3 - r}{1+r^2} =r-\frac{r}{1+r^2} \\ &=\int_0^2\mathrm{d}z \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta\ \left[\frac{z}{2}\ln(1+r^2)+r^2\cos^2\theta -\ln(1+r^2)\cos^2\theta\right]_0^1 \\ &=\int_0^2\mathrm{d}z \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta\ \left[\frac{\ln 2}{2} z+ \cos^2\theta -\ln(2)\cos^2\theta\right] \\ &=\int_0^2\mathrm{d}z \ \left[(\pi\ln 2) z+ \pi-\pi\ln 2\right] \\ &= 2\pi\ln 2 +2\pi -2\pi\ln 2 \\ &=2\pi \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 3.6절 · 7번우리말 번역

E를 포물면 z=x2+y2z = x^2 + y^2 과 z=2−x2−y2z = 2 - x^2 - y^2 사이에서 유계이면서 원기둥 x2+y2≤1x^2 + y^2 \le 1 안에 있는 영역이라 하자. 영역 EE 위에서 f(x,y,z)=(x2+y2)3/2f(x,y,z) = {(x^2 + y^2)}^{3/2} 의 적분을 구하세요.

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포물면 z=x2+y2z=x^2+y^2 과 z=2−x2−y2z=2-x^2-y^2 은 z=x2+y2=1z=x^2+y^2=1 일 때 만난다. 원기둥좌표를 사용하자. 그러면 x2+y2=r2x^2+y^2=r^2 이고, dV=r dr dθ dz\mathrm{d}V=r \ \mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z 이며,

E={ (rcos⁡θ , rsin⁡θ , z)) ∣ 0≤r≤1, r2≤z≤2−r2, 0≤θ≤2π }E=\big\{ \ (r\cos\theta\,,\,r\sin\theta\,,\,z))\ \big|\ 0\le r\le 1,\ r^2\le z\le 2-r^2,\ 0\le\theta\le 2\pi\ \big\}

이므로

∭Ef(x,y,z) dV=∫01dr∫r22−r2dz∫02πdθ r r3⏞f=2π∫01dr r4(2−r2−r2)=2π[2155−2177]=8π35\begin{aligned} \iiint _E f(x,y,z)\ \mathrm{d}V &=\int_0^1\mathrm{d}r\int_{r^2}^{2-r^2}\mathrm{d}z\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\ r\ \overbrace{r^3}^{f} \\ &=2\pi \int_0^1\mathrm{d}r\ r^4\big(2-r^2-r^2\big) \\ &=2\pi \left[2\frac{1^5}{5}-2\frac{1^7}{7}\right] \\ &=\frac{8\pi}{35} \end{aligned}

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# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산도전자동 분류

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