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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다중적분

원기둥·구면좌표 삼중적분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 3.7절 · 1번대학 수준우리말 번역

(ρ,θ,φ)(\rho,\theta,\varphi) 를 구면좌표를 나타내는 것으로 하자.

(a) φ=0\varphi=0 의 그래프를 그리세요. (b) φ=π/4\varphi={\pi}/{4} 의 그래프를 그리세요. (c) φ=π/2\varphi={\pi}/{2} 의 그래프를 그리세요. (d) φ=3π/4\varphi={3\pi}/{4} 의 그래프를 그리세요. (e) φ=π\varphi=\pi 의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

Use (ρ,θ,φ)(\rho,\theta,\varphi) to denote spherical coordinates.

(a) Draw φ=0\varphi=0. (b) Draw φ=π/4\varphi={\pi}/{4}. (c) Draw φ=π/2\varphi={\pi}/{2}. (d) Draw φ=3π/4\varphi={3\pi}/{4}. (e) Draw φ=π\varphi=\pi.

정답·풀이 보기

점 (x,y,z)(x,y,z) 의 구면좌표 φ(x,y,z)\varphi(x,y,z) 는 양의 zz축과 (0,0,0)(0,0,0) 에서 (x,y,z)(x,y,z) 로 향하는 반지름 벡터가 이루는 각이므로, 다음 집합들이 성립한다.

{ (x,y,z) ∣ φ(x,y,z)=0 }=양의 z축{ (x,y,z) ∣ φ(x,y,z)=π/2 }=xy평면{ (x,y,z) ∣ φ(x,y,z)=π }=음의 z축\begin{aligned} \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ \varphi(x,y,z)=0\ \big\} &=\text{양의 $z$축} \\ \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ \varphi(x,y,z)={\pi}/{2}\ \big\} &=\text{$xy$평면} \\ \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ \varphi(x,y,z)=\pi\ \big\} &=\text{음의 $z$축} \end{aligned}

다른 방법으로, tan⁡φ(x,y,z)=zx2+y2\tan\varphi(x,y,z)=\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2}} 이므로, 모든 0<Φ<π0<\Phi<\pi 에 대해

{ (x,y,z) ∣ φ(x,y,z)=Φ }={ (x,y,z) ∣ z=tan⁡Φx2+y2 }=양의 z축과 이루는 각이 Φ 인 원뿔\begin{aligned} \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ \varphi(x,y,z)=\Phi\ \big\} &=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ z=\tan\Phi\sqrt{x^2+y^2}\ \big\} \\ &=\text{양의 $z$축과 이루는 각이 $\Phi$ 인 원뿔} \end{aligned}

이다.

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원본 교재 풀이(영어)

Since the spherical coordinate φ(x,y,z)\varphi(x,y,z) of a point (x,y,z)(x,y,z) is the angle between the positive zz-axis and the radius vector from (0,0,0)(0,0,0) to (x,y,z)(x,y,z), the sets

{ (x,y,z) ∣ φ(x,y,z)=0 }=the positive z-axis{ (x,y,z) ∣ φ(x,y,z)=π/2 }=the xy-plane{ (x,y,z) ∣ φ(x,y,z)=π }=the negative z-axis\begin{aligned} \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ \varphi(x,y,z)=0\ \big\} &=\text{the positive $z$-axis} \\ \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ \varphi(x,y,z)={\pi}/{2}\ \big\} &=\text{the $xy$-plane} \\ \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ \varphi(x,y,z)=\pi\ \big\} &=\text{the negative $z$-axis} \end{aligned}

Alternatively, tan⁡φ(x,y,z)=zx2+y2\tan\varphi(x,y,z)=\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2}}, so that, for any 0<Φ<π0<\Phi<\pi,

{ (x,y,z) ∣ φ(x,y,z)=Φ }={ (x,y,z) ∣ z=tan⁡Φx2+y2 }=the cone that makes the angle Φ with the positive z-axis\begin{aligned} \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ \varphi(x,y,z)=\Phi\ \big\} &=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ z=\tan\Phi\sqrt{x^2+y^2}\ \big\} \\ &=\text{the cone that makes the angle $\Phi$ with the positive $z$-axis} \end{aligned}

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한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 3.7절 · 15번우리말 번역

반지름이 aa 이고 높이가 hh 인 원기둥의 부피를 구면좌표계에서의 적분을 이용하여 구하세요.

답 쓰고 채점
다 풀었으면 정답 확인

원기둥의 윗면의 방정식은 z=hz=h, 즉 ρcos⁡φ=h\rho\cos\varphi=h 이다. 원기둥의 옆면의 방정식은 x2+y2=a2x^2+y^2=a^2, 즉 ρsin⁡φ=a\rho\sin\varphi=a 이다. 원기둥의 밑면의 방정식은 z=0z=0, 즉 φ=π2\varphi=\frac{\pi}{2} 이다.

그림

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각각의 고정된 φ\varphi 에 대하여 θ\theta 는 00 에서 2π2\pi 까지 변하고, ρ\rho 는 00 에서 hcos⁡φ\frac{h}{\cos\varphi} (통의 윗면에서, φ<tan⁡−1ah\varphi<\tan^{-1}\frac{a}{h} 인 경우) 또는 asin⁡φ\frac{a}{\sin\varphi} (통의 옆면에서, φ>tan⁡−1ah\varphi>\tan^{-1}\frac{a}{h} 인 경우) 까지 변한다. 따라서

부피=∫0tan⁡−1ahdφ∫02πdθ∫0h/cos⁡φdρ ρ2sin⁡φ+∫tan⁡−1ahπ2dφ∫02πdθ∫0a/sin⁡φdρ ρ2sin⁡φ=2π∫0tan⁡−1ahdφ h3sin⁡φ3cos⁡3φ+2π∫tan⁡−1ahπ2dφ a3sin⁡φ3sin⁡3φ=2π{∫0ahdt h33t−∫ha0ds a33} 여기서 t=tan⁡φ, dt=sec⁡2φ dφ, s=cot⁡φ, ds=−csc⁡2φ dφ=2π{h33 12(ah)2+a33 ha}=2π{ah26+a2h3}=πa2h\begin{aligned} \text{부피} &= \int_{0}^{\tan^{-1}{a\over h}} \mathrm{d}\varphi \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_0^{h/\cos\varphi}\mathrm{d}\rho\ \rho^2\sin\varphi +\int_{\tan^{-1}{a\over h}}^{{\pi\over 2}} \mathrm{d}\varphi \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_0^{a/\sin\varphi}\mathrm{d}\rho\ \rho^2\sin\varphi \\ &= 2\pi\int_{0}^{\tan^{-1}{a\over h}} \mathrm{d}\varphi \ \frac{h^3\sin\varphi}{3\cos^3\varphi} +2\pi\int_{\tan^{-1}{a\over h}}^{{\pi\over 2}} \mathrm{d}\varphi \ \frac{a^3\sin\varphi}{3\sin^3\varphi} \\ &=2\pi\Big\{\int_0^{{a\over h}}\mathrm{d}t\ \frac{h^3}{3}t -\int^0_{{h\over a}}\mathrm{d}s\ \frac{a^3}{3}\Big\} \\ &\text{ 여기서 $t=\tan\varphi$, $\mathrm{d}t=\sec^2\varphi\,\mathrm{d}\varphi$, $s=\cot\varphi$, $\mathrm{d}s=-\csc^2\varphi\,\mathrm{d}\varphi$} \\ &=2\pi\left\{\frac{h^3}{3}\,\frac{1}{2}\left(\frac{a}{h}\right)^2 +\frac{a^3}{3}\,\frac{h}{a}\right\} =2\pi\left\{\frac{ah^2}{6}+\frac{a^2h}{3}\right\} =\pi a^2h \end{aligned}

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# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산기본자동 분류

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