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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다중적분

원기둥·구면좌표 삼중적분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 3.7절 · 2번대학 수준우리말 번역

주어진 구면좌표에 해당하는 점을 그리세요.

(a) ρ=0\rho=0, θ=0.1π\theta=0.1\pi, φ=0.7π\varphi=0.7\pi (b) ρ=1\rho=1, θ=0.3π\theta=0.3\pi, φ=0\varphi=0 (c) ρ=1\rho=1, θ=0\theta=0, φ=π2\varphi=\frac{\pi}{2} (d) ρ=1\rho=1, θ=π3\theta=\frac{\pi}{3}, φ=π2\varphi=\frac{\pi}{2} (e) ρ=1\rho=1, θ=π2\theta=\frac{\pi}{2}, φ=π2\varphi=\frac{\pi}{2} (f) ρ=1\rho=1, θ=π3\theta=\frac{\pi}{3}, φ=π6\varphi=\frac{\pi}{6}

영어 원문 보기

Sketch the point with the specified spherical coordinates.

(a) ρ=0\rho=0, θ=0.1π\theta=0.1\pi, φ=0.7π\varphi=0.7\pi (b) ρ=1\rho=1, θ=0.3π\theta=0.3\pi, φ=0\varphi=0 (c) ρ=1\rho=1, θ=0\theta=0, φ=π2\varphi=\frac{\pi}{2} (d) ρ=1\rho=1, θ=π3\theta=\frac{\pi}{3}, φ=π2\varphi=\frac{\pi}{2} (e) ρ=1\rho=1, θ=π2\theta=\frac{\pi}{2}, φ=π2\varphi=\frac{\pi}{2} (f) ρ=1\rho=1, θ=π3\theta=\frac{\pi}{3}, φ=π6\varphi=\frac{\pi}{6}

정답·풀이 보기

그림은 아래와 같다. 이 그림을 그리는 데에는 다음 사실들을 떠올리면 도움이 된다.

  • 구면좌표 ρ\rho 는 원점 (0,0,0)(0,0,0) 에서 그 점까지의 거리이다. 특히 ρ=0\rho=0 이면 θ\theta 와 φ\varphi 의 값에 관계없이 그 점은 원점이다. ρ=1\rho=1 이면 그 점은 원점을 중심으로 하는 반지름 11 인 구 위에 있다.
  • 구면좌표 φ\varphi 는 양의 zz축과 원점에서 (x,y,z)(x,y,z) 까지의 선분 사이의 각이다. 특히 φ=0\varphi=0 인 모든 점은 θ\theta 의 값에 관계없이 양의 zz축 위에 있다. φ=π2\varphi=\frac{\pi}{2} 인 모든 점은 xyxy평면 위에 있다.

그림

원본 교재 풀이(영어)

The sketch is below. To help build up this sketch, it is useful to recall the following facts.

  • The spherical coordinate ρ\rho is the distance of the point from the origin (0,0,0)(0,0,0). In particular if ρ=0\rho=0, then the point is the origin (regardless of the values of θ\theta and φ\varphi). If ρ=1\rho=1 then the point lies on the sphere of radius 11 centred on the origin.
  • The spherical coordinate φ\varphi is the angle between the positive zz-axis and the radial line segment from the origin to (x,y,z)(x,y,z). In particular, all points with φ=0\varphi=0 lie on the positive zz–axis (regardless of the value of θ\theta). All points with φ=π2\varphi=\frac{\pi}{2} lie in the xyxy-plane.

figure

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 3.7절 · 18번우리말 번역

원점을 중심으로 하는 반지름이 2인 공의 윗부분 절반을 생각하세요. 이 공의 밀도는 단위 부피당 질량이 9z9z 인 변수 밀도라고 하세요.

(a) 이 반구의 질량을 나타내는 삼중적분을 세우세요. (b) 이 질량 중 원뿔

z=x2+y2z=\sqrt{x^2+y^2}

안쪽에 있는 부분이 차지하는 분수를 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) 구면좌표계에서

x=ρsin⁡ϕcos⁡θy=ρsin⁡ϕsin⁡θz=ρcos⁡ϕx=\rho\sin\phi\cos\theta\qquad y=\rho\sin\phi\sin\theta\qquad z=\rho\cos\phi

이므로 구 x2+y2+z2=4x^2+y^2+z^2=4 는 ρ2=4\rho^2=4 즉 ρ=2\rho=2 이고, xyxy평면은 ϕ=π2\phi=\frac{\pi}{2} 이다. 따라서

mass=∫02dρ∫0π/2dϕ∫02πdθ ρ2sin⁡ϕ (9ρcos⁡ϕ)⏞density\text{mass} =\int_0^2d\rho\int_0^{\pi/2}d\phi\int_0^{2\pi}d\theta\ \rho^2\sin\phi \ \overbrace{(9 \rho\cos\phi)}^{\rm density}

(b) 반구의 질량은

9∫02dρ∫0π/2dϕ∫02πdθ ρ3sin⁡ϕcos⁡ϕ=9[∫02dρ ρ3][∫0π/2dϕ sin⁡ϕcos⁡ϕ][∫02πdθ]9 \int_0^2d\rho\int_0^{\pi/2}d\phi\int_0^{2\pi}d\theta\ \rho^3\sin\phi \cos\phi =9 \bigg[\int_0^2d\rho\ \rho^3\bigg] \bigg[\int_0^{\pi/2}d\phi\ \sin\phi \cos\phi\bigg] \bigg[\int_0^{2\pi}d\theta\bigg]

이다. 구면좌표계에서 원뿔 x2+y2=z2x^2+y^2=z^2 은 ρ2sin⁡2ϕ=ρ2cos⁡2ϕ\rho^2\sin^2\phi=\rho^2\cos^2\phi 즉 tan⁡ϕ=±1\tan\phi=\pm1 이므로 ϕ=π4, 3π4\phi=\frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4} 이다. 따라서 원뿔 안쪽에 있는 부분의 질량은

9∫02dρ∫0π/4dϕ∫02πdθ ρ3sin⁡ϕcos⁡ϕ=9[∫02dρ ρ3][∫0π/4dϕ sin⁡ϕcos⁡ϕ][∫02πdθ]9 \int_0^2d\rho\int_0^{\pi/4}d\phi\int_0^{2\pi}d\theta\ \rho^3\sin\phi \cos\phi =9 \bigg[\int_0^2d\rho\ \rho^3\bigg] \bigg[\int_0^{\pi/4}d\phi\ \sin\phi \cos\phi\bigg] \bigg[\int_0^{2\pi}d\theta\bigg]

이다.

원뿔 안쪽의 분수는

∫0π/4dϕ sin⁡ϕcos⁡ϕ∫0π/2dϕ sin⁡ϕcos⁡ϕ=12sin⁡2ϕ∣0π/412sin⁡2ϕ∣0π/2=12\frac{\int_0^{\pi/4}d\phi\ \sin\phi \cos\phi}{\int_0^{\pi/2}d\phi\ \sin\phi \cos\phi} =\frac{\tfrac{1}{2}\sin^2\phi\big|_0^{\pi/4}}{\tfrac{1}{2}\sin^2\phi\big|_0^{\pi/2}} =\frac{1}{2}

이다.

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