원기둥·구면좌표 삼중적분 연습문제 — CLP-3 · 3.7절 · 7번

CLP-3 · 3.7절 · 7번대학 수준우리말 번역

구면좌표 부등식

$1 \le \rho \le 1 + \cos \varphi$

으로 주어진 $3$ 차원 영역 $E$ 를 생각하세요.

(a) 3차원에서 $E$ 의 그림을 상당히 정확하게 그리세요. 좌표축에 단위를 반드시 표시하세요. (b) $E$ 의 부피를 구하세요.

영어 원문 보기

Consider the region $E$ in $3$ –dimensions specified by the spherical inequalities

$1 \le \rho \le 1 + \cos \varphi$

(a) Draw a reasonably accurate picture of $E$ in 3–dimensions. Be sure to show the units on the coordinates axes. (b) Find the volume of E.

정답·풀이 보기

(a) 먼저 $E$ 의 두 경계 $\rho=1$ 과 $\rho= 1 + \cos\varphi$ 는 모두 구면좌표 $\theta$ 와 무관하다. 따라서 $E$ 는 $z$ 축을 중심으로 한 회전에 대해 변하지 않는다. $E$ 를 그리기 위해

먼저 $\theta=0$ 인 $E$ 의 경계 부분(즉 $xz$ 평면에서 $x>0$ 인 반쪽)을 그린 다음,
$z$ 축을 중심으로 회전한다.

$\theta=0$ 인 $E$ 의 경계 부분(즉 반평면 $y=0$ , $x\ge 0$ 위)은 두 곡선으로 이루어진다.

$\rho=1+\cos\varphi$ , $\theta=0$ :
$\varphi=0$ (즉 양의 $z$ 축 위)일 때 $\cos\varphi =1$ 이므로 $\rho=2$ 이다. 따라서 이 곡선은 $(0,0,2)$ 에서 시작한다.
$\varphi$ 가 증가하면 $\cos\varphi$ 가 감소하므로 $\rho$ 도 감소한다.
$\varphi$ 가 $\frac{\pi}{2}$ (즉 $xy$ 평면 위)일 때 $\cos\varphi =0$ 이므로 $\rho=1$ 이다.
$\frac{\pi}{2}<\varphi\le \pi$ 일 때 $\cos\varphi<0$ 이므로 $\rho<1$ 이다. $E$ 의 모든 점은 $\rho\ge 1$ 을 만족해야 하므로 경계의 이 부분은 $xy$ 평면 위의 점 $(1,0,0)$ 에서 끝난다.
곡선 $\rho=1+\cos\varphi$ , $\theta=0$ , $0\le\varphi\le\frac{\pi}{2}$ 은 아래 왼쪽 그림에 그려져 있다. 이것은 $(0,0,2)$ 에서 $(1,0,0)$ 까지의 바깥쪽 곡선이다.
$\rho=1$ , $\theta=0$ :
곡면 $\rho=1$ 은 원점을 중심으로 하는 반지름 $1$ 인 구이다.
위에서 살펴본 대로 조건 $1\le\rho\le 1+\cos\varphi$ 에서 $0\le\varphi\le\frac{\pi}{2}$ , 즉 $z\ge 0$ 이어야 한다.
구 $\rho=1$ 은 사분평면 $y=0$ , $x\ge 0$ , $z\ge 0$ 과 원점을 중심으로 하는 사분원에서 만나며, 이 사분원은 $z$ 축 위의 $(0,0,1)$ 에서 시작하여 $xy$ 평면 위의 $(1,0,0)$ 에서 끝난다.
곡선 $\rho=1$ , $\theta=0$ , $0\le\varphi\le\frac{\pi}{2}$ 은 아래 왼쪽 그림에 그려져 있다. 이것은 $(0,0,1)$ 에서 $(1,0,0)$ 까지의 안쪽 곡선이다.

$E$ 를 얻으려면 아래 왼쪽 그림의 색칠한 영역을 $z$ 축을 중심으로 회전한다. 제1팔분공간에 있는 $E$ 의 부분은 아래 오른쪽 그림에 그려져 있다. $xz$ 평면( $x\ge 0$ )에 있는 $E$ 의 부분은 연하게 색칠되어 있고, $yz$ 평면( $y\ge 0$ )에 있는 $E$ 의 부분은 조금 더 진하게 색칠되어 있다.

(b) $E$ 에서

$\varphi$ 는 $0$ (즉 양의 $z$ 축)에서 $\frac{\pi}{2}$ (즉 $xy$ 평면)까지 변한다.
그 범위의 각 $\varphi$ 에 대해 $\rho$ 는 $1$ 에서 $1+\cos\varphi$ 까지, $\theta$ 는 $0$ 에서 $2\pi$ 까지 변한다.
구면좌표에서 $\mathrm{d}V = \rho^2\,\sin\varphi\,\mathrm{d}\rho\, \mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi$ 이다.

따라서

$\begin{aligned} \text{부피}(E) &=\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\varphi \int_1^{1+\cos\varphi}\mathrm{d}\rho \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\ \rho^2\sin\varphi \\ &=2\pi \int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\varphi\ \sin\varphi\ \frac{(1+\cos\varphi)^3-1^3}{3} \\ &=-\frac{2\pi}{3} \int_2^1 \big(u^3-1\big)\ \mathrm{d}u \qquad\text{단, }u=1+\cos\varphi,\ \mathrm{d}u=-\sin\varphi\,\mathrm{d}\varphi \\ &= -\frac{2\pi}{3}\left[\frac{u^4}{4}-u\right]_2^1 \\ &=-\frac{2\pi}{3} \left[\frac{1}{4}-1-4+2\right] \\ &=\frac{11 \pi}{6} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

(a) First observe that both boundaries of $E$ , namely $\rho=1$ and $\rho= 1 + \cos\varphi$ , are independent of the spherical coordinate $\theta$ . So $E$ is invariant under rotations about the $z$ –axis. To sketch $E$ we

first sketch the part of the boundary of $E$ with $\theta=0$ (i.e. in the half of the $xz$ –plane with $x>0$ ), and then
rotate about the $z$ –axis.

The part of the boundary of $E$ with $\theta=0$ (i.e. in the half–plane $y=0$ , $x\ge 0$ ), consists of two curves.

$\rho=1+\cos\varphi$ , $\theta=0$ :
When $\varphi=0$ (i.e. on the positive $z$ –axis), We have $\cos\varphi =1$ and hence $\rho=2$ . So this curve starts at $(0,0,2)$ .
As $\varphi$ increases $\cos\varphi$ , and hence $\rho$ , decreases.
When $\varphi$ is $\frac{\pi}{2}$ (i.e. in the $xy$ –plane), we have $\cos\varphi =0$ and hence $\rho=1$ .
When $\frac{\pi}{2}<\varphi\le \pi$ , we have $\cos\varphi<0$ and hence $\rho<1$ . All points in $E$ are required to obey $\rho\ge 1$ . So this part of the boundary stops at the point $(1,0,0)$ in the $xy$ –plane.
The curve $\rho=1+\cos\varphi$ , $\theta=0$ , $0\le\varphi\le\frac{\pi}{2}$ is sketched in the figure on the left below. It is the outer curve from $(0,0,2)$ to $(1,0,0)$ .
$\rho=1$ , $\theta=0$ :
The surface $\rho=1$ is the sphere of radius $1$ centred on the origin.
As we observed above, the conditions $1\le\rho\le 1+\cos\varphi$ force $0\le\varphi\le\frac{\pi}{2}$ , i.e. $z\ge 0$ .
The sphere $\rho=1$ intersects the quarter plane $y=0$ , $x\ge 0$ , $z\ge 0$ , in the quarter circle centred on the origin that starts at $(0,0,1)$ on the $z$ –axis and ends at $(1,0,0)$ in the $xy$ –plane.
The curve $\rho=1$ , $\theta=0$ , $0\le\varphi\le\frac{\pi}{2}$ is sketched in the figure on the left below. It is the inner curve from $(0,0,1)$ to $(1,0,0)$ .

To get $E$ , rotate the shaded region in the figure on the left below about the $z$ -axis. The part of $E$ in the first octant is sketched in the figure on the right below. The part of $E$ in the $xz$ –plane (with $x\ge 0$ ) is lightly shaded and the part of $E$ in the $yz$ –plane (with $y\ge 0$ ) is shaded a little more darkly.

(b) In $E$

$\varphi$ runs from $0$ (i.e. the positive $z$ –axis) to $\frac{\pi}{2}$ (i.e. the $xy$ –plane).
For each $\varphi$ in that range $\rho$ runs from $1$ to $1+\cos\varphi$ and $\theta$ runs from $0$ to $2\pi$ .
In spherical coordinates $\mathrm{d}V = \rho^2\,\sin\varphi\,\mathrm{d}\rho\, \mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi$ .

$\begin{aligned} \text{Volume}(E) &=\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\varphi \int_1^{1+\cos\varphi}\mathrm{d}\rho \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\ \rho^2\sin\varphi \\ &=2\pi \int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\varphi\ \sin\varphi\ \frac{(1+\cos\varphi)^3-1^3}{3} \\ &=-\frac{2\pi}{3} \int_2^1 \big(u^3-1\big)\ \mathrm{d}u \qquad\text{with }u=1+\cos\varphi,\ \mathrm{d}u=-\sin\varphi\,\mathrm{d}\varphi \\ &= -\frac{2\pi}{3}\left[\frac{u^4}{4}-u\right]_2^1 \\ &=-\frac{2\pi}{3} \left[\frac{1}{4}-1-4+2\right] \\ &=\frac{11 \pi}{6} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 3.7절 · 17번우리말 번역

(a) $\displaystyle \iiint _\Omega z\,\mathrm{d}V$ 의 값을 구하세요. 여기서 $\Omega$ 는 제1팔분공간 $x\ge 0$ , $y\ge 0$ , $z\ge 0$ 에 있으면서 구 $x^2+y^2+z^2=1$ 의 내부를 차지하는 3차원 영역입니다. (b) (a)의 결과를 이용하여 $z\ge 0$ , $x^2+y^2+z^2\le 1$ 로 주어진 반구 모양 입체의 무게중심을 빠르게 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) 구면좌표계에서

$\begin{aligned} x=\rho\sin\phi\cos\theta\qquad y=\rho\sin\phi\sin\theta\qquad z=\rho\cos\phi \end{aligned}$

이므로

구 $x^2+y^2+z^2=1$ 은 $\rho=1$ 이고,
$xy$ 평면 $z=0$ 은 $\phi=\frac{\pi}{2}$ 이고,
$xz$ 평면의 양의 쪽 절반 $y=0$ , $x>0$ 은 $\theta=0$ 이고
$yz$ 평면의 양의 쪽 절반 $x=0$ , $y>0$ 은 $\theta=\frac{\pi}{2}$ 이다.

따라서

$\begin{aligned} \iiint _\Omega z\,\mathrm{d}V&= \int_0^1 \mathrm{d}\rho\int_0^{\pi/2}d\phi\int _0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\ \rho^2\sin\phi\overbrace{(\rho\cos\phi)}^{z} \\ &=\frac{\pi}{2}\int_0^1 \mathrm{d}\rho\int_0^{\pi/2}d\phi\ \rho^3\sin\phi \cos\phi \\ &=\frac{\pi}{2}\int_0^1 \mathrm{d}\rho\ \rho^3\ \frac{1}{2}\sin^2\phi \Big|_0^{\pi/2} =\frac{\pi}{4}\int_0^1 \mathrm{d}\rho\ \rho^3 =\frac{\pi}{16} \end{aligned}$

(b) $z\ge 0$ , $x^2+y^2+z^2\le 1$ 로 주어진 반구 모양 입체 (이를 $H$ 라 하자)의 무게중심 $(\bar x,\bar y,\bar z)$ 는 (대칭성에 의해) $\bar x=\bar y=0$ 이고

$\begin{aligned} \bar z=\frac{\iiint _H z\,\mathrm{d}V}{\iiint _H\,\mathrm{d}V} =\frac{4\iiint _\Omega z\,\mathrm{d}V}{\tfrac{1}{2}\times\frac{4}{3}\pi} =\frac{\frac{\pi}{4}}{\frac{2\pi}{3}} =\frac{3}{8} \end{aligned}$

이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 원기둥·구면좌표 삼중적분활용보통자동 분류