원기둥·구면좌표 삼중적분 연습문제 — CLP-3 · 3.7절 · 17번

CLP-3 · 3.7절 · 17번대학 수준우리말 번역

(a) $\displaystyle \iiint _\Omega z\,\mathrm{d}V$ 의 값을 구하세요. 여기서 $\Omega$ 는 제1팔분공간 $x\ge 0$ , $y\ge 0$ , $z\ge 0$ 에 있으면서 구 $x^2+y^2+z^2=1$ 의 내부를 차지하는 3차원 영역입니다. (b) (a)의 결과를 이용하여 $z\ge 0$ , $x^2+y^2+z^2\le 1$ 로 주어진 반구 모양 입체의 무게중심을 빠르게 구하세요.

영어 원문 보기

(a) Evaluate $\displaystyle \iiint _\Omega z\,\mathrm{d}V$ where $\Omega$ is the three dimensional region in the first octant $x\ge 0$ , $y\ge 0$ , $z\ge 0$ , occupying the inside of the sphere $x^2+y^2+z^2=1$ . (b) Use the result in part (a) to quickly determine the centroid of a hemispherical ball given by $z\ge 0$ , $x^2+y^2+z^2\le 1$ .

정답·풀이 보기

(a) 구면좌표계에서

$\begin{aligned} x=\rho\sin\phi\cos\theta\qquad y=\rho\sin\phi\sin\theta\qquad z=\rho\cos\phi \end{aligned}$

이므로

구 $x^2+y^2+z^2=1$ 은 $\rho=1$ 이고,
$xy$ 평면 $z=0$ 은 $\phi=\frac{\pi}{2}$ 이고,
$xz$ 평면의 양의 쪽 절반 $y=0$ , $x>0$ 은 $\theta=0$ 이고
$yz$ 평면의 양의 쪽 절반 $x=0$ , $y>0$ 은 $\theta=\frac{\pi}{2}$ 이다.

따라서

$\begin{aligned} \iiint _\Omega z\,\mathrm{d}V&= \int_0^1 \mathrm{d}\rho\int_0^{\pi/2}d\phi\int _0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\ \rho^2\sin\phi\overbrace{(\rho\cos\phi)}^{z} \\ &=\frac{\pi}{2}\int_0^1 \mathrm{d}\rho\int_0^{\pi/2}d\phi\ \rho^3\sin\phi \cos\phi \\ &=\frac{\pi}{2}\int_0^1 \mathrm{d}\rho\ \rho^3\ \frac{1}{2}\sin^2\phi \Big|_0^{\pi/2} =\frac{\pi}{4}\int_0^1 \mathrm{d}\rho\ \rho^3 =\frac{\pi}{16} \end{aligned}$

(b) $z\ge 0$ , $x^2+y^2+z^2\le 1$ 로 주어진 반구 모양 입체 (이를 $H$ 라 하자)의 무게중심 $(\bar x,\bar y,\bar z)$ 는 (대칭성에 의해) $\bar x=\bar y=0$ 이고

$\begin{aligned} \bar z=\frac{\iiint _H z\,\mathrm{d}V}{\iiint _H\,\mathrm{d}V} =\frac{4\iiint _\Omega z\,\mathrm{d}V}{\tfrac{1}{2}\times\frac{4}{3}\pi} =\frac{\frac{\pi}{4}}{\frac{2\pi}{3}} =\frac{3}{8} \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) In spherical coordinates,

$\begin{aligned} x=\rho\sin\phi\cos\theta\qquad y=\rho\sin\phi\sin\theta\qquad z=\rho\cos\phi \end{aligned}$

so that

the sphere $x^2+y^2+z^2=1$ is $\rho=1$ ,
the $xy$ -plane, $z=0$ , is $\phi=\frac{\pi}{2}$ ,
the positive half of the $xz$ -plane, $y=0$ , $x>0$ , is $\theta=0$ and
the positive half of the $yz$ -plane, $x=0$ , $y>0$ , is $\theta=\frac{\pi}{2}$ .

(b) The hemispherical ball given by $z\ge 0$ , $x^2+y^2+z^2\le 1$ (call it $H$ ) has centroid $(\bar x,\bar y,\bar z)$ with $\bar x=\bar y=0$ (by symmetry) and

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 3.7절 · 4번우리말 번역

구면좌표를 직교좌표로 변환하세요.

(a) $\rho=1$ , $\theta=\frac{\pi}{3}$ , $\varphi=\frac{\pi}{6}$ (b) $\rho=2$ , $\theta=\frac{\pi}{2}$ , $\varphi=\frac{\pi}{2}$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

다 풀었으면 정답 확인

(a) $\rho=1$ , $\theta=\frac{\pi}{3}$ , $\varphi=\frac{\pi}{6}$ 에 대응하는 직교좌표는 다음과 같다.

$\begin{aligned} x&=\rho\sin\varphi\cos\theta =\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3} =\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) =\frac{1}{4} \\ y&=\rho\sin\varphi\sin\theta =\sin\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3} =\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) =\frac{\sqrt{3}}{4} \\ z&=\rho\cos\varphi =\cos\frac{\pi}{6} =\frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned}$

(b) $\rho=2$ , $\theta=\frac{\pi}{2}$ , $\varphi=\frac{\pi}{2}$ 에 대응하는 직교좌표는 다음과 같다.

$\begin{aligned} x&=\rho\sin\varphi\cos\theta =2\sin\frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2} =0 \\ y&=\rho\sin\varphi\sin\theta =2\sin\frac{\pi}{2}\sin\frac{\pi}{2} =2 \\ z&=\rho\cos\varphi =2\cos\frac{\pi}{2} =0 \end{aligned}$

다음과 같이 관찰하여 구할 수도 있다.

$\varphi=\frac{\pi}{2}$ 이므로 점은 $xy$ 평면 위에 있고, 따라서 $z=0$ 이다.
$\rho=2$ , $\theta=\frac{\pi}{2}$ 이므로 점은 양의 $y$ 축 위에 있고 원점으로부터의 거리가 $2$ 이므로 $(0,2,0)$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

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