원기둥·구면좌표 삼중적분 연습문제 — CLP-3 · 3.7절 · 11번

CLP-3 · 3.7절 · 11번대학 수준우리말 번역

다음과 같이 두자.

$I = \iiint _T xz\ \mathrm{d}V$

여기서 $T$ 는 구 $x^2 + y^2 + z^2 \le 1$ 의 $x,y,z \ge 0$ 인 8분의 1 부분이다.

(a) 부피 $T$ 의 개형을 그리세요. (b) $I$ 를 구면좌표계에서의 삼중적분으로 나타내세요. (c) 아무 방법으로나 $I$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Let

$I = \iiint _T xz\ \mathrm{d}V$

where $T$ is the eighth of the sphere $x^2 + y^2 + z^2 \le 1$ with $x,y,z \ge 0$ .

(a) Sketch the volume $T$ . (b) Express $I$ as a triple integral in spherical coordinates. (c) Evaluate $I$ by any method.

정답·풀이 보기

(a) 개형은 다음과 같다.

(b) $T$ 위에서,

구면좌표 $\varphi$ 는 $0$ ( $z$ 축의 양의 부분)에서 ${\pi}/{2}$ ( $xy$ 평면)까지 변하고,
이 범위의 각 고정된 $\varphi$ 에 대해 $\theta$ 는 $0$ 에서 ${\pi}/{2}$ 까지 변하며,
각 고정된 $\varphi$ 와 $\theta$ 에 대해 구면좌표 $\rho$ 는 $0$ 에서 $1$ 까지 변한다.
구면좌표계에서 $\mathrm{d}V=\rho^2\,\sin\varphi\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\theta\, \mathrm{d}\varphi$ 이고

$xz=\big(\rho\sin\varphi\cos\theta\big)\big(\rho\cos\varphi\big) =\rho^2 \sin\varphi\ \cos\varphi\ \cos\theta$

이다. 따라서

$\begin{aligned} I=\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\varphi\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\int_0^1\mathrm{d}\rho\ \rho^4\sin^2\varphi\cos\varphi\ \cos\theta \end{aligned}$

이다.

$\begin{aligned} I&= \left[\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\varphi\ \sin^2\varphi\cos\varphi\right] \left[\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\ \cos\theta\right] \left[\int_0^1\mathrm{d}\rho\ \rho^4\right] \\ &=\left[\frac{\sin^3\varphi}{3}\right]_0^{\pi/2} \left[\sin\theta\right]_0^{\pi/2} \left[\frac{\rho^5}{5}\right]_0^1 \\ &=\frac{1}{15} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

(a) Here is a sketch

(b) On $T$ ,

the spherical coordinate $\varphi$ runs from $0$ (the positive $z$ –xis) to ${\pi}/{2}$ (the $xy$ –plane), and
for each fixed $\varphi$ in that range, $\theta$ runs from $0$ to ${\pi}/{2}$ , and
for each fixed $\varphi$ and $\theta$ , the spherical coordinate $\rho$ runs from $0$ to $1$ .
In spherical coordinates $\mathrm{d}V=\rho^2\,\sin\varphi\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\theta\, \mathrm{d}\varphi$ and

$xz=\big(\rho\sin\varphi\cos\theta\big)\big(\rho\cos\varphi\big) =\rho^2 \sin\varphi\ \cos\varphi\ \cos\theta$

$\begin{aligned} I=\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\varphi\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\int_0^1\mathrm{d}\rho\ \rho^4\sin^2\varphi\cos\varphi\ \cos\theta \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 3.7절 · 13번우리말 번역

$\iiint _{\mathbb{R}^3} {\big[1+{(x^2+y^2+z^2)}^3\big]}^{-1}\ \mathrm{d}V$ 의 값을 구하세요.

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

구면좌표를 사용하자. 이것은 이상적분이다. 따라서 엄밀하게 하기 위해, $0\le\rho\le R$ 에서의 적분에 대해 $R\rightarrow\infty$ 일 때의 극한을 취한다.

$\begin{aligned} \iiint _{\mathbb{R}^3} {\big[1+{(x^2+y^2+z^2)}^3\big]}^{-1}\ \mathrm{d}V &=\lim_{R\rightarrow\infty} \int_0^R \mathrm{d}\rho \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_0^\pi\mathrm{d}\varphi\ \rho^2\sin\varphi\ \frac{1}{1+\rho^6} \\ &=\lim_{R\rightarrow\infty} \int_0^R \mathrm{d}\rho \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \ \frac{\rho^2}{1+\rho^6}\Big[-\cos\varphi\Big]_0^\pi \\ &=4\pi \lim_{R\rightarrow\infty} \int_0^R \mathrm{d}\rho \ \frac{\rho^2}{1+\rho^6} \\ &=\frac{4\pi}{3} \lim_{R\rightarrow\infty} \int_0^{R^3} \mathrm{d}u \ \frac{1}{1+u^2}\qquad \text{여기서 }u=\rho^3,\ \mathrm{d}u=3\rho^2\,\mathrm{d}\rho \\ &=\frac{4\pi}{3}\lim_{R\rightarrow\infty}\Big[\arctan u\Big]_0^{R^3} \\ &=\frac{2\pi^2}{3}\qquad\text{왜냐하면 } \lim_{R\rightarrow\infty}\arctan R^3=\frac{\pi}{2} \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 원기둥·구면좌표 삼중적분그래프·표 해석보통자동 분류