원기둥·구면좌표 삼중적분 연습문제 — CLP-3 · 3.7절 · 13번

CLP-3 · 3.7절 · 13번대학 수준우리말 번역

$\iiint _{\mathbb{R}^3} {\big[1+{(x^2+y^2+z^2)}^3\big]}^{-1}\ \mathrm{d}V$ 의 값을 구하세요.

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Evaluate $\iiint _{\mathbb{R}^3} {\big[1+{(x^2+y^2+z^2)}^3\big]}^{-1}\ \mathrm{d}V$ .

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구면좌표를 사용하자. 이것은 이상적분이다. 따라서 엄밀하게 하기 위해, $0\le\rho\le R$ 에서의 적분에 대해 $R\rightarrow\infty$ 일 때의 극한을 취한다.

$\begin{aligned} \iiint _{\mathbb{R}^3} {\big[1+{(x^2+y^2+z^2)}^3\big]}^{-1}\ \mathrm{d}V &=\lim_{R\rightarrow\infty} \int_0^R \mathrm{d}\rho \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_0^\pi\mathrm{d}\varphi\ \rho^2\sin\varphi\ \frac{1}{1+\rho^6} \\ &=\lim_{R\rightarrow\infty} \int_0^R \mathrm{d}\rho \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \ \frac{\rho^2}{1+\rho^6}\Big[-\cos\varphi\Big]_0^\pi \\ &=4\pi \lim_{R\rightarrow\infty} \int_0^R \mathrm{d}\rho \ \frac{\rho^2}{1+\rho^6} \\ &=\frac{4\pi}{3} \lim_{R\rightarrow\infty} \int_0^{R^3} \mathrm{d}u \ \frac{1}{1+u^2}\qquad \text{여기서 }u=\rho^3,\ \mathrm{d}u=3\rho^2\,\mathrm{d}\rho \\ &=\frac{4\pi}{3}\lim_{R\rightarrow\infty}\Big[\arctan u\Big]_0^{R^3} \\ &=\frac{2\pi^2}{3}\qquad\text{왜냐하면 } \lim_{R\rightarrow\infty}\arctan R^3=\frac{\pi}{2} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Let's use spherical coordinates. This is an improper integral. So, to be picky, we'll take the limit as $R\rightarrow\infty$ of the integral over $0\le\rho\le R$ .

$\begin{aligned} \iiint _{\mathbb{R}^3} {\big[1+{(x^2+y^2+z^2)}^3\big]}^{-1}\ \mathrm{d}V &=\lim_{R\rightarrow\infty} \int_0^R \mathrm{d}\rho \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_0^\pi\mathrm{d}\varphi\ \rho^2\sin\varphi\ \frac{1}{1+\rho^6} \\ &=\lim_{R\rightarrow\infty} \int_0^R \mathrm{d}\rho \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \ \frac{\rho^2}{1+\rho^6}\Big[-\cos\varphi\Big]_0^\pi \\ &=4\pi \lim_{R\rightarrow\infty} \int_0^R \mathrm{d}\rho \ \frac{\rho^2}{1+\rho^6} \\ &=\frac{4\pi}{3} \lim_{R\rightarrow\infty} \int_0^{R^3} \mathrm{d}u \ \frac{1}{1+u^2}\qquad \text{with }u=\rho^3,\ \mathrm{d}u=3\rho^2\,\mathrm{d}\rho \\ &=\frac{4\pi}{3}\lim_{R\rightarrow\infty}\Big[\arctan u\Big]_0^{R^3} \\ &=\frac{2\pi^2}{3}\qquad\text{since } \lim_{R\rightarrow\infty}\arctan R^3=\frac{\pi}{2} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 3.7절 · 12번우리말 번역

$W = \iiint _Q xz\ \mathrm{d}V$ 의 값을 구하세요. 여기서 $Q$ 는 구 $x^2 + y^2 + z^2 \le 9$ 의 $x$ , $y$ , $z \ge 0$ 인 8분의 1 부분이다.

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구면좌표를 사용한다. $Q$ 위에서,

구면좌표 $\varphi$ 는 $0$ ( $z$ 축의 양의 부분)에서 $\frac{\pi}{2}$ ( $xy$ 평면)까지 변하고,
구면좌표 $\theta$ 는 $0$ ( $xz$ 평면 중 $x\ge 0$ 인 반쪽)에서 $\frac{\pi}{2}$ ( $yz$ 평면 중 $y\ge 0$ 인 반쪽)까지 변하며,
구면좌표 $\rho$ 는 $0$ 에서 $3$ 까지 변한다.

$\mathrm{d}V=\rho^2\sin\varphi\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi$ 이므로,

$\begin{aligned} W&= \iiint _Q xz\ \mathrm{d}V =\int_0^3 \mathrm{d}\rho \int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\varphi \ \rho^2\sin\varphi\ \overbrace{\rho\sin\varphi\cos\theta}^{x} \overbrace{\rho\cos\varphi}^{z} \\ &=\int_0^3 \mathrm{d}\rho \int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta \ \rho^4\cos\theta\left[\frac{\sin^3\varphi}{3}\right] _{\varphi=0}^{\varphi=\pi/2} \\ &=\frac{1}{3}\int_0^3 \mathrm{d}\rho\ \rho^4\Big[\sin\theta\Big]_0^{\pi/2} \\ &=\frac{3^5}{15}=\frac{81}{5} \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산보통자동 분류