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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다중적분

원기둥·구면좌표 삼중적분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 3.7절 · 12번대학 수준우리말 번역

W=∭Qxz dVW = \iiint _Q xz\ \mathrm{d}V 의 값을 구하세요. 여기서 QQ 는 구 x2+y2+z2≤9x^2 + y^2 + z^2 \le 9 의 xx, yy, z≥0z \ge 0 인 8분의 1 부분이다.

영어 원문 보기

Evaluate W=∭Qxz dVW = \iiint _Q xz\ \mathrm{d}V, where QQ is an eighth of the sphere x2+y2+z2≤9x^2 + y^2 + z^2 \le 9 with xx, yy, z≥0z \ge 0.

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정답·풀이 보기

구면좌표를 사용한다. QQ 위에서,

  • 구면좌표 φ\varphi 는 00 (zz축의 양의 부분)에서 π2\frac{\pi}{2} (xyxy평면)까지 변하고,
  • 구면좌표 θ\theta 는 00 (xzxz평면 중 x≥0x\ge 0 인 반쪽)에서 π2\frac{\pi}{2} (yzyz평면 중 y≥0y\ge 0 인 반쪽)까지 변하며,
  • 구면좌표 ρ\rho 는 00 에서 33 까지 변한다.

dV=ρ2sin⁡φ dρ dθ dφ\mathrm{d}V=\rho^2\sin\varphi\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi 이므로,

W=∭Qxz dV=∫03dρ∫0π/2dθ∫0π/2dφ ρ2sin⁡φ ρsin⁡φcos⁡θ⏞xρcos⁡φ⏞z=∫03dρ∫0π/2dθ ρ4cos⁡θ[sin⁡3φ3]φ=0φ=π/2=13∫03dρ ρ4[sin⁡θ]0π/2=3515=815\begin{aligned} W&= \iiint _Q xz\ \mathrm{d}V =\int_0^3 \mathrm{d}\rho \int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\varphi \ \rho^2\sin\varphi\ \overbrace{\rho\sin\varphi\cos\theta}^{x} \overbrace{\rho\cos\varphi}^{z} \\ &=\int_0^3 \mathrm{d}\rho \int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta \ \rho^4\cos\theta\left[\frac{\sin^3\varphi}{3}\right] _{\varphi=0}^{\varphi=\pi/2} \\ &=\frac{1}{3}\int_0^3 \mathrm{d}\rho\ \rho^4\Big[\sin\theta\Big]_0^{\pi/2} \\ &=\frac{3^5}{15}=\frac{81}{5} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

We'll use spherical coordinates. On QQ,

  • the spherical coordinate φ\varphi runs from 00 (the positive zz–axis) to π2\frac{\pi}{2} (the xyxy–plane),
  • the spherical coordinate θ\theta runs from 00 (the half of the xzxz–plane with x≥0x\ge 0) to π2\frac{\pi}{2} (the half of the yzyz–plane with y≥0y\ge 0) and
  • the spherical coordinate ρ\rho runs from 00 to 33.

As dV=ρ2sin⁡φ dρ dθ dφ\mathrm{d}V=\rho^2\sin\varphi\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi,

W=∭Qxz dV=∫03dρ∫0π/2dθ∫0π/2dφ ρ2sin⁡φ ρsin⁡φcos⁡θ⏞xρcos⁡φ⏞z=∫03dρ∫0π/2dθ ρ4cos⁡θ[sin⁡3φ3]φ=0φ=π/2=13∫03dρ ρ4[sin⁡θ]0π/2=3515=815\begin{aligned} W&= \iiint _Q xz\ \mathrm{d}V =\int_0^3 \mathrm{d}\rho \int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\varphi \ \rho^2\sin\varphi\ \overbrace{\rho\sin\varphi\cos\theta}^{x} \overbrace{\rho\cos\varphi}^{z} \\ &=\int_0^3 \mathrm{d}\rho \int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta \ \rho^4\cos\theta\left[\frac{\sin^3\varphi}{3}\right] _{\varphi=0}^{\varphi=\pi/2} \\ &=\frac{1}{3}\int_0^3 \mathrm{d}\rho\ \rho^4\Big[\sin\theta\Big]_0^{\pi/2} \\ &=\frac{3^5}{15}=\frac{81}{5} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 5.5절 · 13번우리말 번역

다음 문제에서 함수 gg 와 영역 EE 가 직교좌표로 주어져 있다.

a. 영역 EE 와 함수 gg 를 원기둥좌표로 나타내세요. f(r,θ,z)f(r,\theta ,z) 를 원기둥좌표에서 이에 대응하는 함수라 하세요. b. 적분 ∭Eg(x,y,z)dV\iiint_{E}g(x,y,z)dV 를 원기둥좌표로 바꾸고 값을 구하세요.

g(x,y,z)=1x+3,g(x,y,z)=\frac{1}{x+3}, E={(x,y,z)∣0≤x2+y2≤9,x≥0,y≥0,0≤z≤x+3}E=\{(x,y,z)|0\le {x}^{2}+{y}^{2}\le 9,x\ge 0,y\ge 0,0\le z\le x+3\}

다 풀었으면 정답 확인

a. E={(r,θ,z)∣0≤r≤3,0≤θ≤π2,0≤z≤r cos⁡ θ+3},E=\{(r,\theta ,z)|0\le r\le 3,0\le \theta \le \frac{\pi }{2},0\le z\le r\,\cos \,\theta +3\}, f(r,θ,z)=1r cos⁡ θ+3;f(r,\theta ,z)=\frac{1}{r\,\cos \,\theta +3}; b. ∫03 ∫0π/2 ∫0r cos⁡ θ+3rr cos⁡ θ+3dz dθ dr=9π4\int_{0}^{3}\,\int_{0}^{\pi /2}\,\int_{0}^{r\,\cos \,\theta +3}\frac{r}{r\,\cos \,\theta +3}dz\,d\theta \,dr=\frac{9\pi }{4}

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# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산보통자동 분류

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